1.1 稳定性概述

自1927年Harold S.Black提出负反馈以来，负反馈已经成为电子学、控制学以及应用科学的基石。负反馈能够提高系统整体性能：暂态和环境变化时增益更加稳定，减少元器件非线性、宽带和阻抗变化时引起的失真，如果运算放大器施加负反馈则上述优势更加明显。

负反馈同样存在故障隐患，即无论施加何种输入信号或者输入信号是否有无时都能引起系统振荡，此时环路产生足够大的相移，使得负反馈转换为正反馈，并且系统具有足够大的环路增益维持输出振荡。

稳定性为计算机仿真提供了广阔沃土，利用仿真既能验证系统整体功能，又能全面测试系统稳定性，尤其对新观念的引入和深入探索更是发挥了淋漓尽致的功效。接下来首先利用PSpice仿真对同相放大电路进行时域测试，然后逐步引出运放电路稳定性判定准则。

1.1.1 同相放大电路稳定性测试

运放传递函数测试：图1.1所示为运放传递函数测试电路，GaindB为运放开环直流增益，f_p1为运放第1极点，f_p2为运放第2极点；图1.2所示为交流仿真设置，起始频率为1Hz、结束频率为1GHz，分别为f_p1的1/10和f_p2的10倍，以便充分测试-180°～0°相位；图1.3所示为运放增益与相位频率特性曲线，频率低于f_p1时增益基本保持120dB、在f_p1～f_p2之间增益按照-20dB/dec进行衰减、高于f_p2时增益按照-40dB/dec进行衰减，相位在f_p1和f_p2时分别为-45°和-135°、并且在其1/10和10倍范围内按照-45°/dec降低；设计电路时按照所选运放数据手册提供的特征参数进行设置，以便仿真与实际测试能够匹配，该模型未考虑运放输入电容和输出阻抗，在接下来的章节中将逐步增加运放模型参数，使得仿真与实际更加一致。

同相放大电路瞬态与增益测试：图1.4所示为同相放大瞬态与增益测试电路，其中f_z1为反馈第一零点频率、C_fv为反馈电容参数值、Beta为反馈系数——低频闭环增益设置；运放工作于线性区时正负输入端虚短虚断，虚短表示正负输入端的电压相同，虚断表示流入/流出正负输入端的电流为零，所以正常工作时节点IN₂与V_fb2的电压相同，即输入电压与反馈电压相同，低频时电路闭环增益Gain=，所以调节电阻R_F14与R_I15之比即可改变电路放大倍数；运放由Laplace传递函数定义、输出限幅为±15V；f_z1为C_F8和R_I15构成的反馈第一零点，Beta为反馈系数、即同相放大电路的闭环增益Gain=1/Beta；图1.5所示为瞬态仿真设置；图1.6所示为Beta参数仿真设置，Beta=0.1、0.125、0.25、0.5，所以闭环增益Gain=10、8、4、2；图1.7所示为输入和输出电压波形，输入、输出同相，只是脉冲过渡瞬间出现微小过冲。

同相放大电路直流与交流测试：图1.8所示为同相放大直流与交流测试电路；图1.9所示为直流仿真设置，当输入电压从-1V线性增加到1V时输出电压从-10V线性增大到10V，输入/输出同相，直流仿真输出电压波形如图1.10所示；图1.11所示为交流仿真时f_z1的参数设置；图1.12所示为交流闭环增益曲线，f_z1越小闭环增益的峰值越大，从而瞬态分析越容易产生振荡，f_z1=100kHz时的瞬态输出电压波形如图1.13所示——输出振荡。

上面分别对同相放大电路进行了瞬态和交流分析，那么当运放电路满足什么条件时电路才能稳定工作呢？接下来分别利用增益裕度和相位裕度、增益峰值与超调、劳斯稳定判据对运放电路稳定性进行判定。

1.1.2 增益裕度和相位裕度

增益裕度：系统稳定与否取决于环路增益T（jf）随频率的变化方式，设T（jf）在某一频率处的相位为-180°，并将该频率记为f_-180°，于是T（jf_-180°）为负实数——表明系统已从负反馈变成正反馈；如果，则系统闭环增益表达式A（jf_-180°）如下所示

式中，a（jf_-180°）为该频率时的运放增益。

因为分母小于1，所以由上式可得A（jf_-180°）大于a（jf_-180°）；尽管如此，由于反复围绕环路流过的任何信号幅度均会逐渐降低并最终消失，因此电路稳定，并且闭环传递函数A（s）的极点必然落在s域的左半平面。

如果=1，由上述方程可得，表明电路此时可在零输入条件下维持某一信号输出——电路变为振荡器，A（s）必然在虚轴上存在一对共轭极点。振荡器总是受到某种形式存在于放大器输入端的交流噪声激励，当恰好某一频率的交流噪声分量x_d产生反馈分量x_f=-x_d，在求和网络中将该分量进一步放大-1倍，由此可得x_d自身，一旦该交流分量进入环路即可在很长时间内保持恒定。

当时将不能再用上述公式，而需采用数学工具预估电路的稳定特性。如果闭环增益A（s）在s域右半平面存在一对共轭极点，此时一旦电路开始振荡，幅度就会不断增大，直至某些电路的非线性将环路增益降至1为止，此非线性既可系统固有（例如非线性的VTC）也可人为设计（例如外部钳位网络）。

增益裕度定量计算公式定义如下：

GM定义为变成1导致不稳定之前可被增加的分贝数，具体如图1.14所示，例如某电路的T（jf_-180°），则其GM=20lg=10dB，该值在合理增益裕度范围内；与此成对比的是某一电路的T（jf_-180°），则其GM=3dB，该增益裕度值很小，只要运放生产过程或环境改变引起增益A（s）的微小增大，都有可能导致系统不稳定。

相位裕度：另一种更常用的定量表示运放系统稳定性的参数为相位裕度，此时关注系统传递函数T在交叉频率f_x处的相位角；在交叉频率处1，定义相位裕度φ_m为达到-180°导致系统不稳定之前可被降低的度数，即，图1.14所示为相位裕度图形表示。

为分析相位裕度的意义，记T（jf_x）=1∠（φ_m-180°）=-exp（jφ_m），此时误差函数1+[1+1/T（jf_x）]=1/[1-exp（-jφ_m）]，利用欧拉恒等式exp（-jφ_m）=cosφ_m-jsin（φ_m）可得系统闭环增益为

根据不同φ_m值计算误差函数，可得φ_m=90°时误差函数值为0.707，φ_m=60°时误差函数值为1，φ_m=30°时误差函数值为1.93，φ_m=15°时误差函数值为3.83，φ_m=0°时误差为无穷大∞、增益误差也为无穷大。由上述计算数值可知：φ_m＜60°时，表明该闭环系统存在峰值；φ_m越低峰值现象越明显；φ_m→0时→∞，系统处于振荡状态；实际设计时φ_m的典型下限值为45°，通常φ_m下限值为60°。

增益裕度与相位裕度：图1.15所示为同相放大开环测试电路，电感L₁用于建立静态工作点、交流时开路，电容C₁用于交流环路测试、直流时开路；图1.16所示为f_z1=1megHz时的增益与相位曲线，频率为10.491megHz时环路相位为-180°、增益裕度GM=40dB，频率为812.3kHz时环路增益为0dB、相位裕度φ_m=180°-126.6°=53.4°——系统稳定；图1.17所示为f_z1=400kHz时的增益与相位曲线，频率为6.488megHz时环路相位为-180°、增益裕度GM=39.6dB，频率为596.7Hz时环路增益为0dB、相位裕度φ_m=180°-143.7°=36.3°——系统超调严重。

1.1.3 增益峰值与超调量

频域中峰值现象的存在通常伴随着时域中振铃现象的出现，反之亦然。如图1.18所示，通常利用增益峰值GP（dB）和超调量OS（%）进行具体定量计算，其中GP=20lg、OS（%）=，因为两种效应的产生需要一对复极点，所以一阶系统中不存在峰值和超调量。对于二阶全极点系统，当Q2时将会出现尖峰，当ζ11时将会出现振铃；此处品质因数Q和阻尼系数ζ的关系式为或；对于二阶系统，GP、OS、Q、ζ和相位裕度φ_m之间的关系式为

将上述三个方程组合可得图1.18中所示的增益峰值和超调量曲线，该图给出尖峰现象和振铃现象与相位裕度之间的关系。观察发现当φ_m≤=65.5°时将发生尖峰现象，当φ_m≤=76.3°时将发生振铃现象；下面为GP（φ_m）和OS（φ_m）的常用值：

根据实际所用电路，闭环响应可能存在一个极点、一对极点或多个极点，但是通常更高阶电路的输出响应只受一对极点控制，因此图1.18给出的二阶系统相位裕度与峰值和超调量的关系曲线实用，根据开环相位裕度可以判断闭环增益峰值和超调量，根据闭环增益峰值和超调量也可估算系统相位裕度；二阶系统闭环频域分析时的相位裕度与增益峰值对应数据见表1.1，二阶系统闭环时域分析时的相位裕度与超调量对应数据见表1.2。

下面利用同相放大电路对上述数据进行验证，电路、波形和数据如图1.19～图1.22所示；当f_z1=400kHz时相位裕度φ_m=36.3°，增益峰值GP=28.8dB-20dB=8.8dB；当f_z1=1megHz时相位裕度φ_m=53.4°，增益峰值GP=22.8dB-20dB=2.8dB。由表1.1和表1.2可得相位裕度φ_m=36.3°时的超调量OS=39%、增益峰值GP=4dB；相位裕度φ_m=53.4°时的超调量OS=16%、增益峰值GP=1.5dB。为何仿真数据与计算数据存在很大误差呢？主要原因在于计算数据以二阶系统为基础进行计算，而仿真电路为三阶系统——二阶运放+一阶反馈，所以仿真数据与计算存在误差；另外误差与仿真步长和输入脉冲上升沿时间均有关系，仿真与实际验证时务必进行严格测试。

当f_z1=1megHz时超调量OS≈50%，当f_z1=400kHz时超调量OS≈100%。

接下来测试纯二阶系统的超调量与增益峰值，具体电路如图1.23所示，由对比结果可知仿真波形和数据与表1.1和表1.2中的数据非常一致，如果所研究系统为纯二阶系统或者可以简化为二阶系统，则实际设计时应该充分利用表1.1和表1.2的数据对系统的稳定性进行验证。

超调量：当增益设置为10时相位裕度φ_m≈90°，输入输出电压波形如图1.24所示，超调量近似为零；当增益设置为1时相位裕度φ_m≈45°，输入输出电压波形如图1.25所示，输出电压放大波形与数据图1.26所示，超调量OS==24.8%，超调量仿真结果与表1.2中的数据基本一致。

增益峰值：当增益设置为10时的输出电压频率特性曲线如图1.27所示，增益峰值GP=0dB；当增益设置为1时的输出电压频率特性曲线和数据如图1.28所示，增益峰值GP=1.25dB；增益峰值仿真结果与表1.1中的数据基本一致。

1.1.4 劳斯稳定判据

劳斯法则利用数学方法进行系统稳定性判断，根据特征方程根落在右半平面的数量检验系统是否稳定。使用劳斯法则时不必计算方程根的具体位置，只需判断方程的根是否属于右半平面，劳斯法则具体计算步骤如下：

1）写出特征多项式：

根据特征多项式（1-LT）计算其在右半平面是否存在零点，右半平面（1-LT）的零点对应系统闭环极点，此处假设a_n≠0继续进行分析。

2）接下来观察任意系数是否为零或具有与其他系数不相同的符号。必要但不充分的稳定条件：特征方程中没有非零系数，并且所有系数具有相同符号。

3）如果所有系数具有相同符号，接下来构建行和列矩阵模型，该矩阵模型维数为偶数n；矩阵数据从水平和垂直方向填充，直到含零行为止；第三行及以下行由前两行计算得出。

4）右半平面极点数量等于劳斯矩阵第一列中符号改变的个数，下面将劳斯法则应用于传递函数：

由传递函数可知存在右半平面极点s=+2rad/s，利用劳斯法则对其进行验证，该劳斯矩阵如下：

由劳斯矩阵计算结果可知第一列中存在一次符号变化，矩阵元素从+4变化到-12，因此系统必定存在一个右半平面极点。再次将劳斯法则应用于单反馈环路内具有三个极点的系统（见图1-29），利用劳斯法则确定K值，以确保该反馈环路能够稳定运行，该系统的闭环传递函数为

分母多项式为

劳斯矩阵为

由上述劳斯矩阵计算结果可知：K28时第一列中有两次符号变化，因此如果K=8预计在jω轴上有两个极点，如果K28，有两极点在右半平面，从而判定该系统不稳定；K18时第一列无符号变化，因此系统稳定，全部三个极点均在左半平面。

实例电路仿真分析：

当K_v恒定、F_p变化时劳斯判据符号不变，为降低仿真时间，将F_p设置为10kHz，以提高电路响应速度即环路带宽。图1.30所示为开环与闭环测试电路。

第1步——开环频率特性：测试增益变化时电路稳定裕度。交流仿真设置如图1.31所示，K_v参数仿真设置如图1.32所示，频率特性曲线如图1.33所示，输出振荡、输出超调和系统稳定情况分别如图1.34～图1.36所示。

第2步——闭环频率特性测试：增益变化时电路输出特性。图1.37所示为增益变化时的1Hz～100kHz闭环频率特性曲线，图1.38所示为增益变化时的1～100Hz闭环频率特性曲线。

由图1.37和图1.38可得，K_v=8时输出电压0.9V，更接近理想值1V，但产生振荡；K_v=2时输出电压0.667V，误差偏大，但电路稳定。图1.39所示为闭环稳态误差K_v设置，图1.40所示为K_v改变时的输出电压波形。

当输入为交流1V时理想输出电压为1V，K_v改变时的环路误差数据见表1.3，计算值与仿真测试值完全一致，环路增益越大误差越小。

第3步——闭环时域特性：测试增益变化时电路输出特性。输入为1V阶跃信号。图1.41所示为瞬态仿真设置。

图1.42为K_v变化时的输出电压波形：V（V_o）@3对应K_v=8——输出电压振荡，V（V_o）@2对应K_v=4——输出电压超调严重，V（V_o）@1对应K_v=2——输出电压稳定但稳态误差增大。

上述讨论了两种运放环路稳定性判定方法，但是对于工程师如何实际测试一个系统的稳定性呢，尤其在包含杂散参数的情况下，利用计算固然准确，但是参数辨识以及方程求解恐怕大家都会望而却步，接下来分析如何利用仿真进行环路测试。