2.1.2 改变坐标系的基向量

以上示例算式成立的前提是，坐标系都是以（1, 0）和（0, 1）作为基向量的。如果不以这两个向量作为基向量，会发生什么呢？

当我们把标准的平面直角坐标系中的基向量修改以后，就会得到新的坐标系。

例如，应该怎么解读下式呢？

这看来很不寻常，（1, 0）和（0, 1）向量可以理解为标准平面直角坐标系的基石，离开了这两个向量，标准平面直角坐标系将不复存在。上式的初衷是想表达（2, 6）这个向量，但是因为基向量不再是（1, 0）和（0, 1），而变成了（0, 1）和（-1, 0），所以最终得到的是另一个向量。

基向量可以是不标准的（即不是（1, 0）和（0, 1）），这就会得到一个改变了基向量的平面坐标系，在我们看来会觉得它是变形的甚至翻转的。但是，我们的判断也许是片面的，因为在那个“变形”的坐标系内看标准平面直角坐标系，也会觉得是“变形”的。如果从这个角度深入思考，总会让人感觉不是在思考线性代数，而是哲学。你认为真实的世界只是因为它看起来更符合你的认知。

2.3节将会从线性组合的角度进一步解释这个问题。

延伸一下，我们来看一个移动端的计算机视觉场景，如图2-3所示。人眼看到的世界和手机“眼”（摄像头）看到的世界完全不相同。如果将人眼和手机摄像头看到的图都用坐标系来描述，它们的基向量也将是完全不相同的。

图2-3 手机摄像头“看”到的场景不同于人眼看到的

但是，那盆绿植是相同的，只是我们人类和手机看到的世界不同而已。

利用线性代数的知识，可以描述人眼中和手机内两套坐标系的关系，还能从其中一个坐标系推导出另一个。在视觉摄像头场景中，经常需要利用线性代数的知识转换坐标系。

如果能在不同观察视角的坐标系之间自如转换，就可以解决一些常见的计算机视觉相关的问题。例如，我们想在绿植上面加一朵虚拟的花，即便手机发生了一些位移，也可以让虚拟的花朵稳定地保持在绿植的固定位置上。

与移动端深度学习密切相关的技术非常多，视觉技术方向在研发过程中也会涉及多种技术。将深度学习和视觉技术同步落地是非常重要的，两者往往缺一不可，而这两种技术都需要用到线性代数知识。

本章试图以直截了当的方式快速进入线性代数世界，但是这样难免会带来很多疑问，不过没关系，你可以带着这些疑问阅读下面的内容。接下来先看一下向量的几何意义。