1.2.2 相关函数与功率谱
1．相关函数
因为平稳随机信号的相关函数具有确定性，所以对平稳随机信号的分析和处理常常在相关域进行。当用线性移不变离散时间系统对随机信号进行处理时，虽然信号是随机的，但用来描述线性系统的单位脉冲响应总是确定的。所以，在讨论平稳随机信号的相关函数之前，先讨论确定性信号的相关函数。
（1）确定性能量信号的相关函数
确定性信号是自变量的确定函数。对于自变量的每一个值，可以通过数字关系式或图表对照唯一地确定其对应的信号值。正弦信号、指数信号、卫星轨迹信号、电容充放电的电压信号等都是确定性信号。
能量信号是指能量有限的信号，对于连续时间信号可表示为
式中的E表示信号x(t)的能量，所以|x(t)|2也叫能量密度。对于离散时间信号可表示为
式中的E表示序列x(n)的能量。能量信号可以是有限长的，也可以是无限长的，比如指数衰减的信号。
确定性能量信号的自相关函数Rx(m)和互相关函数Rxy(m)分别定义为
式（1.2.4）和式（1.2.5）中，x(n)和y(n)都是确定性能量信号，“*”代表取共轭。如果x(n)和y(n)都是实序列，则式（1.2.4）和式（1.2.5）成为
确定性能量信号的相关函数具有如下性质。
①若x(n)为实信号，则Rx(m)为实偶函数，即
若x(n)为复信号，则Rx(m)共轭偶对称，即
②在m=0时，Rx(m)取得最大值，即
且Rx(0)就是信号序列的能量：
③对于能量信号，当间隔m→∞时，序列项之间便失去了相关性，即
④互相关函数Rxy(m)不是偶函数，由式（1.2.5），有
证明：
如果是实信号，则有
在后面的讨论中，如果不做特殊说明，x(n)和y(n)一律为实信号。
⑤相关卷积定理
对实信号有
证明：
⑥相关定理
能量信号的相关函数与能量谱是傅里叶变换对。根据傅里叶变换的定义式，可以将该定理表示成
将m=0代入上式，得
由前面的性质②可知，Rx(0)就是信号序列的能量，所以将|X(ejω)|2叫作能量谱密度，简称能量谱。相应地，将X*(ejω)Y(ejω)叫作互能量谱，并且有
利用傅里叶变换的性质，由式（1.2.8）和式（1.2.9）可以推出式（1.2.10）和式（1.2.11）。因为式（1.2.10）可以看成式（1.2.11）在y(n)=x(n)情况下的结果，所以下面只给出式（1.2.11）的证明。
证明：对式（1.2.9）两边求傅里叶变换，由傅里叶变换的性质（表1.3中的性质4），可得
再利用傅里叶变换的序列反向性质（表1.3中的性质7），对实信号x(n)有
将上式代入式（1.2.12），得
即
式（1.2.11）得证。
（2）确定性功率信号的相关函数
如果信号能量无限大，如确定性的周期信号、阶跃信号以及随机信号等，就不能从能量的角度入手，而应从功率的角度去研究它们，这类信号叫功率信号，对于连续时间信号和离散时间信号可分别表示为
确定性功率信号的自相关函数Rx(m)和互相关函数Rxy(m)分别定义为
其中，x(n)和y(n)都是确定性实功率信号。常见的单位阶跃信号以及确定性周期信号都属于这类信号。
周期信号的相关函数依然是周期信号，且与原信号的周期相同。在语音信号处理中，经常利用该性质在相关域检测浊音信号的基音周期。
（3）平稳随机信号的相关函数
平稳随机信号的自相关函数Rx(m)和互相关函数Rxy(m)分别定义为
式（1.2.13）和式（1.2.14）中，x(n)和y(n)都是平稳随机信号，“*”代表取共轭。如果x(n)和y(n)都是实随机序列，则式（1.2.13）和式（1.2.14）成为
平稳随机信号的相关函数具有如下性质。
①若x(n)为实信号，则Rx(m)为实偶函数，即
若x(n)为复信号，则Rx(m)共轭偶对称，即
在后面的讨论中，如果不做特殊说明，x(n)和y(n)一律为实信号。
②在m=0时，Rx(m)取得最大值，即
且Rx(0)就是序列的平均功率：
③一个非周期平稳随机序列，当间隔m增大时相关性减弱，当m→∞时，可认为序列项之间不相关，有
即
根据上面的关系，可以将方差用自相关函数表示为
④互相关函数有
⑤Rx(0)Ry(0)≥|Rxy(m)|2
⑥Rxy(∞)=mxmy
⑦维纳-辛钦定理：随机信号自相关函数的傅里叶变换是信号的功率谱密度。如果用Sx(ejω)表示随机信号序列x(n)的功率谱密度，则有
在式（1.2.20）中令m=0，可得
因为Rx(0)=E[x2(n)]=
为信号的平均功率，所以将Sx(ejω)称为随机信号的功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）或功率密度谱，简称功率谱，它描述随机信号的功率随频率的分布。
2．平稳随机信号的功率谱
对确定性能量信号，可以用FFT做频谱分析，得到其频域特性。平稳随机信号是能量无限的信号，故其傅里叶变换不存在（在z平面的单位圆上不满足绝对可和的条件）。
注意，平稳随机序列x(n)的自相关函数Rx(m)也是一个序列，只是序号不代表时间，而代表时差。自相关函数序列来自随机序列，它反映的是随机序列的二阶统计特性。对平稳随机信号，其自相关函数序列是确定的，且当m增大时，相关性减弱，当m→∞时，有Rx(∞)=
（式（1.2.17））。一般随机信号在预处理时要去除均值，即mx=0。所以Rx(∞)=0，即Rx(m)是趋于零的衰减序列。
由于自相关函数Rx(m)是一个能量有限的确定性序列，故其满足序列傅里叶变换绝对可和的条件。由维纳-辛钦定理可知，对序列Rx(m)求傅里叶变换得到的就是序列的功率谱Sx(ejω)。
平稳随机信号的功率谱具有如下性质。
（1）不论x(n)是实序列还是复序列，Sx(ejω)都是ω的实函数。
（2）如果x(n)是实序列，Sx(ejω)具有偶对称性。
（3）Sx(ejω)对所有的ω都是非负的，且是ω的周期函数，周期为2π。
下面给出性质（1）和性质（2）的证明。
证明：假定x(n)为实信号，由平稳随机信号相关函数的性质①，有
且均为实序列。
对于实序列，由傅里叶变换的序列反向性质，可知式（1.2.21）右边的傅里叶变换为
又式（1.2.21）左边的傅里叶变换为
由式（1.2.21）、式（1.2.22）和式（1.2.23）可得
上式表明，对于实信号x(n)，Sx(ejω)不仅是ω的实函数，同时还是ω的偶函数。
假定x(n)为复信号，由平稳随机信号相关函数的性质①，有
式（1.2.24）右边的傅里叶变换为
又式（1.2.24）左边的傅里叶变换为Sx(ejω)，于是有
上式表明，Sx(ejω)是ω的实函数。于是平稳随机信号的功率谱的性质（1）和性质（2）得证。
性质（1）表明，不论x(n)是实信号还是复信号，Sx(ejω)都是ω的实函数，所以功率谱不含相位信息（也称为盲相的）。由功率谱只能得出序列的统计特性Rx(m)，不能恢复出原随机序列x(n)。
另外，需要注意的是，性质（2）只对实信号成立，对于复信号x(n)，Sx(ejω)不是ω的偶函数。