1.3.1　特殊行列式

在行列式中,有些行列式比较特殊,如三角形行列式、对角形行列式和奇数阶反对称行列式等,这些行列式的值与某些特定元素有关或者等于零.特别是三角形行列式,在计算行列式的值中有重要作用.

例1　计算行列式的值.

解　由行列式的性质,得到

这里,计算DT的值是根据n阶行列式定义进行的,与1.1例5方法一样.

计算行列式时,可应用行列式性质将其化为例1所示的上三角形行列式,则其值为对角线上的元素乘积.将上三角形行列式转置得到的行列式DT称为下三角形行列式,上下三角形行列式的值相等.

特殊情况:

这种行列式称为对角行列式.

三角形行列式和对角形行列式的值,都等于主对角线上元素的乘积.

类似地,可以得到下列结论:

由行列式的定义可知,其中只有一项不为零,即

例2　计算行列式的值.

这个行列式的特点是元素aij与元素aji互为相反数,即

aij=-aji

而且阶数为奇数(5阶).具有这种特点的行列式,称为奇数阶反对称行列式.

解　记行列式为D,由行列式的性质得到

故,2D=0,得到D=0.

由此,可得任一奇数阶反对称行列式的值都为0.