第二节　极限的概念

一、数列的极限

首先给出数列的定义.

定义1　如果按照某一法则，对每个n∈N^＋，对应着一个确定的实数x_n，这些实数x_n按照下标n从小到大排列得到的一个序列

x₁，x₂，x₃，…，x_n，…

就叫作数列，简记为数列{x_n}.

数列中的每一个数叫作数列的项，第n项x_n叫作数列的一般项.例如：

都是数列的例子，它们的一般项分别为

注　数列{x_n}可看作自变量为正整数n的函数x_n＝f(n)，n∈N^＋.当自变量n依次取1，2，3，…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列{x_n}.

对一个数列，我们关心的是当n无限增大时，对应的x_n是否能无限接近于某个确定的数值?如果能够的话，这个数值等于多少?就数列来说，当n无限增大时，的值无限接近于1，意味着的值无限地变小，而且要它多小就可以有多小，只要n足够大.例如，若要只要n＞99即可，即从第100项起都能使不等式成立；若要使只要n＞999即可，如此等等.这样的数1，叫作数列时的极限.

一般地，有如下的数列极限的定义.

定义2　设{x_n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式

| x_n－a|＜ε

都成立，那么就称常数a是数列{x_n}的极限，或者称数列{x_n}收敛于a，记为

或

x_n→a　(n→∞).

根据这个定义，数列{x_n}是否以a为极限，取决于对于任给的ε＞0，是否存在相应的正整数N.

例1　根据极限定义证明

证　对于任给的ε＞0，要使

只要所以，对任给的ε＞0，取则当n＞N时就有

即

例2　根据极限定义证明常值数列c，c，c，…收敛，且

证　任给ε＞0，对所有的n，均有

| c－c|＝0＜ε，

因此任意正整数都可作为N，故

例3　设| q|＜1，证明等比数列1，q，q²，…，q^n－1，…的极限是0.

证　对于任给的ε＞0(设ε＜1)，要使

只要(n－1)ln|q|＜lnε.因|q|＜1，ln|q|＜0，故

取则当n＞N时，就有| q^n－1－0|＜ε，

即

二、函数的极限

1.自变量趋于有限值时函数的极限

现在考察当自变量x无限接近于某一点x₀时函数f(x)的变化趋势.如果在x→x₀的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f(x)当x→x₀时的极限.当然，这里我们首先假定函数f(x)在点x₀的某个去心邻域内是有定义的.

下面我们给出函数极限的定义：

定义3　设函数f(x)在点x₀的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得对于满足不等式0＜| x－x₀|＜δ的一切x，总有| f(x)－A|＜ε，则称常数A为函数f(x)当x→x₀时的极限.记作

在这个定义中，不等式0＜| x－x₀|＜δ体现了x无限接近于x₀，但x≠x₀，不等式| f(x)－A|＜ε体现了f(x)无限接近于A.如图1—6所示，其几何意义是对于任给的正数ε，作两条直线y＝A＋ε和y＝A－ε，则总存在x₀的一个去心邻域U^°(x₀，δ)，使得在此邻域内函数y＝f(x)的图像落在这两条直线之间的阴影带形区域.

例4　证明

证　这里| f(x)－A|＝| x－x₀|，因此对任给的ε＞0，总可取δ＝ε，当0＜| x－x₀|＜δ＝ε时，能使不等式| f(x)－A|＝| x－x₀|＜ε成立.所以

例5　证明

证　因为

故对任给的ε＞0，要使| f(x)－A|＜ε，只需取δ＝ε，当0＜| x－x₀|＜δ时，就有

定义4　设函数f(x)在点x₀的左邻域(或右邻域)内有定义，在x₀处可以没有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得对于满足不等式x₀－δ＜x＜x₀(或x₀＜x＜x₀＋δ)的一切x，总有| f(x)－A|＜ε，则称常数A为函数f(x)当x趋于x₀时的左(或右)极限.记作

或

左极限和右极限统称为单侧极限.

定理的充分必要条件是

例6　函数

当x→0时，f(x)的极限不存在.

证　当x→0时，f(x)的左极限

而当x→0时，f(x)的右极限

因为左极限和右极限存在但不相等，所以不存在.如图1—7所示.

2.自变量趋于无穷大时函数的极限

如果在x→∞的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A，那么A叫作函数f(x)当x→∞时的极限.精确地说，就是

定义5　设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数X，使得对于满足不等式| x|＞X的一切x，总有

| f(x)－A|＜ε，

则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限.记作

定义6　设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数X，使得对于满足不等式x＞X的一切x，总有

| f(x)－A|＜ε，

则称常数A为函数f(x)当x→＋∞时的极限.记作

定义7　设函数f(x)当x小于某一个数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数X，使得对于满足不等式x＜－X的一切x，总有

| f(x)－A|＜ε，

那么常数A就叫作函数f(x)当x→－∞时的极限.记作

例7　证明

证　对任意ε＞0，要证存在X＞0，当| x|＞X时，不等式

都成立，即如果取，那么当| x|＞X时，不等式成立，这就证明了

习题1—2

1.观察如下数列{x_n}一般项x_n的变化趋势，写出它们的极限.

2.根据数列极限的定义证明：

3.设数列{x_n}有界，又，证明：

4.根据函数极限的定义证明：

5.讨论函数当x→0时的极限.

6.设求