1.4　可逆性

考察一个参数非线性模型的例子，模型为

yt=g（yt-1,εt-1,θ）+εt

其中，{εt}～iid（0,σ2）是输入序列，假定函数g和向量参数θ都是完全已知的。事实上，可以直接观察到yt，并且可以把它看作某个经济变量，但输入值{εt}并不能直接观察到。从数据集{yt,t=1,…,T}中，根据已知的θ和{ys,s≤t}，如果能够找到输入值的一组“估计值”，采用某种收敛模式，使得当t→∞时，，那么，就称这个模型是可逆的。注意，信息集只包含过去的数据，并不包含初始值ε0。这个定义在Granger和Andersen（1978b）中进行了讨论。

对于线性模型而言，可逆性的问题显得相对简单。对于式（1-4）这个简单的一阶自回归模型，yt显然可通过式（1-4）生成。对于输入值{εt}而言，或者对于给定的数据，εt可通过下面的公式

进行“估计”。如果ϕ是已知的，那么，与εt没有差异，是相同的。对于一阶移动平均模型

yt=εt+θεt-1

把{εt}作为输入值，yt可通过这个模型生成。一经生成，一个显而易见的问题在于，能否决定冲击的前期值。一种解决方法是假设ε0的值为，然后采用

因为，所以，当|θ|<1时，能够得到，因此，一阶移动平均模型是可逆的。但是，如果|θ|≥1，那么，与εt就不同，除非，因此，不存在可逆性。条件|θ|<1是可逆条件，对于一般MA（q）模型，其可逆条件与一阶移动平均模型相似，可通过相关方法加以推导陈述。

有些特殊的非线性模型，诸如将在第3.9节讨论的双线性模型，具有已知的可逆条件。例如，其中的一个简单模型为

yt=βyt-1εt-2+εt

但是，通常情况下，这些条件要么非常复杂，要么是未知的。如果不依赖这些条件，一种实用的方法是使用模型生成一个长序列，该序列具有已知独立同分布输入序列{εt}，然后，运用某种生成过程构造，最后，检验收敛与否。各研究者都可自行选择合适的收敛准则。

一般情况下，这种讨论使用一个输入和一个输出，这只是经典案例，不是唯一的。可以由两个随机输入得到一个输出，第8.4节将要讨论的随机波动的模型就是这种情形的例子。在这种情况下，我们将会理所当然地认为可逆性是不可能的，也就是说，无法估计与一种输出相对应的两个输入。即使通常都是正确的，但也有例外。请看yt=|yt|sign（yt）这个例子，|yt|是正序列，sign（yt）取值1、0或-1，它取决于yt比0大，或是与0相等，或是比0小。令|yt|=xt，sign（yt）=zt，那么，xt与zt都可独立生成，有各自的随机输入值，不过，每一个都具有潜在可逆性，所以，给定xt，可估计xt的输入值，对zt来说也是如此。因此，yt可由它的成分生成；它有两种输入，且可对输入进行估计。变量yt总是可以被分解为它的两个无须估计的分量xt与zt。因此，只有在最初能够观察到yt的情形下，才有可能找到潜在的两个输入序列。