第二节 无黏性土的主动土压力

一、填土表面无荷载作用的情况

如前所述，当挡土墙墙后填土处于主动极限平衡状态时，填土对挡土墙的土压力为主动土压力，用P_a表示。由公式（1-16）可知，此时土中应力的极限平衡条件为

式中 σ₃——小主应力,kPa；

σ₁——大主应力,kPa；

φ——土的内摩擦角，（°）。

在主动极限平衡状态下，大主应力是作用在水平面上的正应力，故

式中 γ——填土的容重(重力密度)，kN/m³；

z——计算点在填土面以下的深度,m。

在主动极限平衡状态下，小主应力σ₃是作用在竖直面上的水平正应力，这也就是填土作用在挡土墙上的主动土压力，可用p_a表示。

将公式（2-1）代入公式（1-16）,则得主动土压力（即主动土压力强度）为

式中 p_a——作用在挡土墙上填土表面以下深度为z的一点处的主动土压力，即该点处的主动土压力强度,kPa。

公式（2-2）也可以简写为

式中 K_a——主动土压力系数。

由公式（2-2）或公式（2-3）可见，主动土压力自填土面以下随深度z成线性变化，即土压力自填土面以下沿挡土墙墙面呈三角形分布，如图2-2所示。作用在墙面高度dz上的主动土压力为

dp_a=γzK_adz

因此，作用在挡土墙每米长度上的总主动土压力为

式中 P_a——作用在挡土墙每米长度上的总主动土压力,kN/m;

H——当填土表面与墙顶齐平时为挡土墙的高度,m。

由于主动土压力沿墙高的分布是三角形分布，故总土压力P_a的作用点距墙踵高程处的高度y_a等于墙高的1/3，即

二、填土表面以下深度H₁处有地下水

当挡土墙墙面光滑、竖直，填土表面水平，填土表面以下深度H₁处有地下水，如图2-3所示。填土表面以下H₁深度范围内填土容重为自然容重γ,内摩擦角为φ；地下水位以下H₂深度范围内填土容重为浮容重（浸水容重）γ′，内摩擦角仍为φ。

此时，在填土表面以下，地下水位以上任意深度z处的主动土压力强度仍按公式（2-3）或公式（2-2）计算，即

在地下水面高程处填土的主动土压力强度可根据公式（2-3）求得，即

式中 H₁——填土表面以下至地下水面的深度。

作用在地下水面以上这一部分墙面上的总主动土压力，可根据公式（2-5）求得，此时将公式中的H用H₁代入即可，即

此土压力沿地下水位以上部分墙面的分布图形仍为一个三角形，填土表面处为零，地下水面高程处为。

在地下水位以下深度为z′的任意点处的主动土压力强度，仍可根据极限平衡条件［公式（1-16）］求得，即

此时大主应力σ₁仍为作用在水平面上的正应力，即σ₁=σ_z。

在地下水位以下深度为z′处，作用在水平面上的正应力：

即σ_z由两部分组成，第一部分γH₁为地下水面以上部分土柱的重量，第二部分γ′z′为地下水面以下部分土柱的重量。

此时小主应力σ₃即为作用在挡土墙上的主动土压力强度p_az′，故将σ₃=和公式（2-10）代入公式（1-16），则得

上式也可写成：

当z′=H₂时，则得作用在墙踵高程处的主动土压力强度为

由公式（2-12）和公式（2-15）可见，地下水位以上土柱重量γH₁在地下水位以下土层范围内所产生的主动土压力强度，在该土层内各点处是相等的，都等于γH₁K_a，所以地下水位以上土柱重量在地下水位以下土层范围内产生的主动土压力强度是均匀分布的。地下水位以下土柱重量γ′z′所产生的主动土压力强度沿土层H₂ 的分布是线性分布，即在H₂范围内土压力强度的分布图形是一个三角形。

作用在挡土墙地下水位以下部分墙面上的总土压力P_aH，可根据公式（2-12）积分求得，即

是地下水位以上土层自重在地下水位以下H₂ 深度范围内产生的总主动土压力；是地下水位以下土层自重在H₂深度范围内产生的总主动土压力。前者的压力分布图形为矩形，后者的压力分布图形为三角形。压力作用方向与挡土墙墙面的法线一致。

所以作用在挡土墙每米墙长上的总土压力P_a，等于作用在挡土墙地下水位以上部分的总压力和作用在地下水位以下部分的总压力P_aH之和，由公式（2-9）和公式（2-18）得

由公式（2-21）可见，当填土面以下有地下水时，作用在挡土墙上的主动土压力可分为三部分：地下水面以上为一个三角形，其面积为；地下水位以下则由一个矩形 （面积等于γH₁H₂K_a）和一个三角形 （面积等于）所组成，如图2-3所示。

总主动土压力P_a在挡土墙上的作用点距离墙踵高程处的竖直距离（高度）y_a，可根据力矩平衡的原理求得，即作用在挡土墙上的三部分土压力对墙踵点的力矩之和，应等于作用在墙上的总土压力P_a对墙踵点的力矩，即

式中 M——由总主动土压力P_a对墙踵点的力矩,kN·m；

M₁——由主动土压力对墙踵点的力矩，kN·m；

M₂——由主动土压力对墙踵点的力矩，kN·m；

M₃——由主动土压力对墙踵点的力矩，kN·m。

设P_a作用点到墙踵的垂直距离为y_a，的作用点到墙踵的垂直距离分别为y₁、y₂、y₃，则由公式（2-23）可得

由此可得总主动土压力P_a的作用点距墙踵高程处的高程（竖直距离）为

由图2-3可知：

如将公式（2-9）、公式（2-19）、公式（2-20）、公式（2-22）和公式（2-25）代入公式（2-24）,则得

公式（2-22）所表示的总主动土压力P_a，仅为填土颗粒对挡土墙所产生的土压力，并未包括地下水位以下饱和土体孔隙水所产生的水压力。

饱和土体的孔隙水压力通常按静水压力计算，即地下水位以下z′深度处的孔隙水压力强度为

式中 γ_ω——水的容重，通常按10kN/m³计算。

静水压力沿深度按直线变化，也就是说水压力沿深度的分布图形为一个三角形，作用在H₂墙高上的总孔隙水压力为

孔隙水压力P_ω作用点距墙踵高程的高度y_ω=。

三、填土表面作用均布荷载的情况

当挡土墙墙背填土表面作用均布荷载q时，墙背填土表面以下深度为z的任意一点处，作用在墙面上的主动土压力强度p_az仍可按极限平衡条件来计算，此时σ₃=p_az,σ₁=q+γz,由公式（1-16）可得

式中 p_az——填土表面以下深度为z处作用在挡土墙墙表面上的主动土压力强度，kPa；

q——作用在填土表面的均布荷载，kPa；

γ——填土的容重，kN/m³；

z——计算点在填土表面以下的深度，m；

K_a——主动土压力系数，按公式（2-4）计算。

由公式（2-29）可见，土压力强度由两部分组成，一部分是由均布荷载q所产生，等于qK_a，它与计算点的深度z无关。因此这一部分土压力强度沿墙面的分布是矩形，如图2-4所示，从填土表面到墙底面高程处大小都是一样的；另一部分是由填土自重产生的，等于γzK_a，它与计算点的深度z成一次方的关系，因此它沿墙面的分布是线性分布，压力分布图形是一个三角形，如图2-4所示。

作用在墙踵高程处的主动土压力强度p_aH可根据公式（2-29）计算，令式中的z=H即可，故

式中 p_aH——填土表面以下深度H处的土压力强度,kPa；

H——挡土墙的高度,m。

作用在每米长度挡土墙上的总主动压力P_a，可根据公式（2-29）积分求得，即

由公式（2-31）可见，作用在挡土墙上的总主动土压力P_a由两部分组成:一部分是由均布荷载q所产生的主动土压力P_aq，它沿挡土墙高度是均匀分布的，分布图形是一个矩形（图2-5），其面积等于qHK_a，即

另一部分是由填土自重所产生的主动土压力P_aH，它沿挡土墙高度成线性分布，分布图形是一个三角形，其面积等于，即

总主动土压力P_a的作用点距挡土墙墙踵点的高度y_a，可根据以墙踵点为力矩中心点的力矩平衡方程求得，即主动土压力的各分力对墙踵点的力矩∑M_i，等于总主动土压力对墙踵点的力矩M，即

P_ay_a=P_aqy₁+P_aHy₂

由此可得

式中 y₁、y₂——P_aq、P_aH对墙踵点的力臂，m。

由图2-5可知：

将公式（2-35）代入公式（2-34）可得

如将公式（2-32）、公式（2-33）和公式（2-31）代入公式（2-36），则得

四、填土表面有均布荷载、填土表面以下深度H₁处有地下水的情况

如图2-5所示的挡土墙，墙面竖直光滑，填土表面水平。作用有均布荷载q，填土面H₁深度以下有地下水，地下水面以上填土层厚度为H₁，填土的容重为γ，内摩擦角为φ;地下水位以下填土层的厚度为H₂，填土的容重为浮容重γ′，内摩擦角仍为φ。

此时在地下水位以上，距填土表面以下深度为z处，作用在挡土墙上的主动土压力强度p_az由两部分组成，即由均布荷载q产生的土压强p_aq和由填土自重所产生的土压强：

在地下水面高程处，作用在挡土墙上的主动土压力强度为

地下水面以下深度z′处，作用在挡土墙上的主动土压力强度为

在挡土墙墙踵高程处，作用在挡土墙上的主动土压力强度为

在地下水位以上，作用在挡土墙上的总主动土压力由两部分组成，即由均布荷载q产生的主动土压力和由填土自重产生的主动土压力，可以由公式（2-38）积分求得，即

在地下水位以下，作用在挡土墙的总主动土压力P_aH由三部分组成，即由均布荷载q产生的部分、由地下水位以上填土自重产生的部分和由地下水位以下部分填土自重产生的部分，可通过公式（2-40）积分求得，即

因此作用在全部挡土墙上的总主动压力P_a等于地下水位以上和地下水位以下两部分主动土压力之和，即

由公式（2-47）可知，作用在挡土墙上的总主动压力P_a由四部分组成，即由均布荷载q产生的主动土压力，沿墙高的分布图形为矩形（图2-5）；由地下水位以上土层自重在该土层厚度范围内产生的主动土压力，其分布图形为三角形（图2-5）；由地下水位以上土层自重在地下水位以下土层厚度内产生的主动土压力，其分布图形为矩形；由地下水位以下土层自重产生的主动土压力，其分布图形为三角形（图2-5）。

作用在挡土墙上的总主动土压力P_a的作用点距墙踵高程的高度y_a，可根据力矩平衡原理求得如下：

式中 y₁、y₂、y₃、y₄——主动土压力P_aq、对挡土墙墙踵点的力臂。

y₁、y₂、y₃、y₄可根据图2-5中的几何关系求得为

式中 H——挡土墙的高度；

H₁、H₂——挡土墙在水上部分、水下部分的高度。

将公式（2-47）、公式（2-49）以及公式（2-47）中的P_aq、值代入公式（2-48），则得

五、层状土的主动土压力

（一）双层土

若挡土墙墙背面填土为两层，上层填土的厚度为H₁，其容重为γ₁，内摩擦角为φ₁；下层填土的厚度为H₂，其容重为γ₂，内摩擦角为φ₂。此时，作用在上层填土表面以下深度为z处的主动土压力强度为

作用在上层填土底面高程处的主动土压力强度，可根据公式（2-51）求得，仅令其中z=H₁即可

上层填土作用在挡土墙墙面上的主动土压力为

在下层填土表面处，主动土压力强度仍可按公式（2-53）计算，但其中的主动土压力系数K_a，应采用下层填土的主动土压力系数，即

因此，作用在下层填土表面高程处的主动土压力强度为

下层填土表面以下深度z′处的主动土压力强度为

下层填土底面高程处的主动土压力强度为

下层填土作用在挡土墙上的主动土压力为

因此，作用在挡土墙上的总土压力P_a等于上层填土产生的主动土压力和下层填土产生的主动土压力P_aH之和，即

总主动土压力P_a的作用点距离墙踵点处的高度y_a，可根据力矩平衡原理求得，即

式中 y₁、y₂、y₃——对墙踵点的力臂，m。

y₁、y₂、y₃的值分别为

将公式（2-60）和公式（2-62）代入公式（2-61）则得

作用在挡土墙上的主动压力的分布图形如图2-6所示，在上层填土范围内土压力分布图形为三角形，在下层填土范围内土压力分布图由两部分组成，即由上层填土自重产生的矩形和由下层填土自重产生的三角形。这一压力分布图形又可分为下列四种情况：

（1）当γ₁＞γ₂，φ₁=φ₂时，作用在挡土墙上的主动土压力分布图形如图2-6（b）所示。

（2）当γ₁＜γ₂，φ₁=φ₂时，作用在挡土墙上的主动土压力分布图形如图2-6（c）所示。

（3）当γ₁=γ₂，φ₁＜φ₂时，作用在挡土墙上的主动土压力分布图形如图2-6（d）所示。

（4）当γ₁=γ₂，φ₁＞φ₂时，作用在挡土墙上的主动土压力分布图形如图2-6（e）所示。

（二）多层填土

如果挡土墙墙背面的填土为多层填土，自上而下各层填土的厚度分别为H₁,H₂,H₃,…各层填土的容重分别为γ₁,γ₂,γ₃,…各层填土的内摩擦角分别为φ₁,φ₂,φ₃,…如图2-7所示，各层填土相应的主动土压力系数分别为，，…

对于多层填土，由于各层填土的内摩擦角φ各不相同，故在土层交界面处主动土压力强度分别有两个，一个是上层填土产生的，另一个是下层填土产生的。

1.在第一层填土与第二层填土交界面处

（1）在第一层填土的底面处，土压强：

（2）在第二层填土的顶面处，土压强：

2.在第二层填土与第三层填土交界面处

（1）在第二层填土的底面处，土压强：

（2）在第三层填土的顶面处，土压强：

3.在第三层填土与第四层填土交界面处

（1）在第三层填土的底面处，土压强：

（2）在第四层填土的顶面处，土压强：

其余各层交界面处的主动土压力强度以此类推。

4.各土层作用在挡土墙上的主动土压力

（1）第一层填土的主动土压力：

（2）第二层填土的主动土压力：

（3）第三层填土的主动土压力：

（4）第四层填土的主动土压力：

其余各层填土作用在挡土墙上的主动土压力，可以此类推。

作用在挡土墙上的总主动土压力P_a，等于各土层作用在挡土墙上的主动土压力之和，即

总主动土压力作用点距墙踵的高度y_a，可根据上述各土层的主动土压力对墙踵点的力矩之和等于总主动土压力对墙踵点的力矩相等的原则求得。