2.2　简谐势阱中的费米气体

Thomas-Fermi半经典近似方法因其简洁性和易操作性已经被广泛应用于势阱中理想玻色和费米系统的热力学行为的研究中。然而在某些特殊条件下，如果系统的量子化特性变得十分明显，那么Thomas-Fermi半经典近似方法对变量连续性的限制必将导致不精确的结果。而数值方法则会更严格地遵循量子化的要求，这能够有效弥补Thomas-Fermi半经典近似方法的不足。因此，本节将首先应用Thomas-Fermi半经典近似方法给出任意维简谐势阱约束的理想费米系统的热力学量表达式，其次通过数值方法计算二维和三维简谐势阱约束的费米系统的化学势、总能和比热，并与解析结果的极限值进行对比，以加深对费米系统的热力学量的认识。

本节的相关内容已在《河南师范大学学报》发表。

2.2.1　模型和系统总能

首先建立束缚在各向同性简谐势阱中，且不考虑自旋的理想费米气体模型，该模型对应的单粒子能谱为

式中，、、分别为费米子的动量、质量、空间坐标，为简谐势阱频率。

采用Thomas-Fermi半经典近似方法求解热力学量通常有两种方法，一种方法是通过引入相空间积分来取代对量子态的求和，另一种方法是借助合适的态密度函数对物理量直接进行积分。

以计算系统的粒子数为例，两种Thomas-Fermi半经典近似方法分别对应表达式

和

式中，和分别对应费米分布函数和任意维各向同性简谐势阱中粒子的态密度；为空间维度；为化学势。

引入费米积分函数

并定义伽马函数和逸度后，可求得系统总粒子数为

同样的方法可求得系统的总能为

或

经积分后有

2.2.2　费米能、化学势和比热

由粒子数表达式（2.14）可求出系统费米能，并讨论费米系统的化学势在低温和高温极限时的情况。当温度很低时，逸度，通过索末菲引理，可将费米积分函数展开成一个迅速收敛的级数序列

将该式代入（2.14）和（2.17），可得费米能和系统基态总能为

当温度很低时，将方程（2.18）代入式（2.14），可得化学势的低温极限为

当系统处于高温时，，可以在费米积分函数的级数展开式中仅保留第一项的影响，此时可得化学势的高温极限（经典极限）为

系统的比热可由总能对温度求导得出

上述推导利用了费米函数关系式和粒子数守恒方程。

将方程（2.18）代入式（2.23），可求得比热的低温极限为

和高温极限

以上结果便是由Thomas-Fermi半经典近似得到的热力学量在热力学极限下的近似。

和玻色气体的情况类似，下面将对费米气体的化学势、总能和比热等热力学量分别进行数值计算，以便和解析结果的极限情况进行比较。

2.2.3　数值结果与讨论

数值计算中设定粒子数，通过求解粒子数方程给出化学势，然后将代入内能和比热的表达式数值求解方程。图2-5～图2-7分别给出了化学势、单粒子内能和比热在二维和三维简谐势阱中的数值结果，约定实线表示数值计算结果（图中用NUM标记），短横线和短点线分别对应Thomas-Fermi半经典近似的低温（图中用LA标记）和高温极限（图中用HA标记）。

图2-5（a）和图2-5（b）分别给出了二维和三维简谐势阱中费米系统的化学势的数值结果与低温和高温极限的对比。由图2-5（a）和图2-5（b）可知，简谐势阱中的费米系统的化学势随温度的升高单调递减，并不存在玻色系统那样的相变点。分析可知，这是费米子受泡利不相容原理限制和玻色子遵从完全不同的统计规律所造成的。外势阱的存在虽然能够改变系统的能量、化学势等物理量的特性，但并不能改变费米子受泡利不相容原理限制这一本质属性。和自由空间相比，简谐势阱的存在提高了系统的化学势，这是因为外势阱的存在改变了粒子在空间分布的均匀性，所以高能量处的态密度远大于低能量处的态密度，受外势阱约束的费米系统比自由空间的费米系统需要更高的温度来产生同样的化学势。Thomas-Fermi半经典近似的低温和高温极限结果和数值结果分别在低温区和高温区吻合，表明了采用Thomas-Fermi半经典近似来处理简谐势阱中的费米系统是合理的。

图2-6给出的单粒子的内能-温度曲线表明，二维和三维简谐势阱中的费米系统内能是连续的。从图2-7的单粒子的比热-温度曲线可以看出，比热随温度的升高单调增加，并没有在某一临界温度出现突变点，这是费米系统和玻色系统最大的不同。和自由空间相比，势阱中的费米系统温度升高时不仅需要消耗动能，而且还需要消耗势阱中的势能，因此势阱中的费米系统的比热要比自由空间大。此外，比热还和空间维度密切相关，三维费米系统的比热明显高于二维系统的比热。二维和三维费米系统均遵从经典的能量均分定理，高温近似下的单粒子比热值分别趋于经典值和。

2.2.4　结论

本节采用Thomas-Fermi半经典近似给出了任意维简谐势阱中的理想费米系统的热力学量的通用表达式，数值计算得到的化学势、内能和比热曲线与解析结果极限情况吻合较好。化学势、内能和比热曲线均随温度呈现单调性连续变化，在高温极限下均趋于各自的经典值。二维和三维费米系统的热力学量随温度的变化规律类似，说明空间维度并不会明显改变热力学量的本质特性。简谐势阱中的费米系统的热力学量明显不同于自由空间的情况，说明势阱的存在能够明显改变粒子的态密度和空间分布，进而影响其他热力学量特性。