第二节 光的波粒二象性导出表征颜色的复频谱数学模型

二十世纪初德国物理学家普朗克和爱因斯坦创立了光的量子学说，后经多位科学家的创造性工作，到二十世纪三十年代，人类对光的本质的认识有了飞跃性提高，认识到光不仅仅是电磁波，在传递过程中显示波动性，同时光又是以一个一个光粒子的形式与物质发生作用。电磁波的复振幅显示矢量性，光子具有动量也显示矢量性，颜色也具有矢量性，这表明光与色之间必然存在着一定的内在联系。矢量在数学上用复数表示。光是以每秒30万公里的速度传播能量的电磁波。人在空间的位置与移动，相对于光速可以认为是静止的。以下将从光的电磁波一维时域函数式及光子动量公式出发，推导出光色映射复频谱颜色数学模型：

（1）电磁波一维时域函数表达式：

式中E——电磁波的复振幅；

E——振幅，是复振幅E的模，即|E|=E；

ω——圆频率，ω=2πv；

t——时间变量。

我们知道，颜色虽然是由光引起的，但是颜色与时间变化无关。设想从光进入眼睛，到视觉感知颜色，大约需要一个定时T，把这个定时T代入（4-12）式，则ωt=θ。可以理解为光线进入眼睛，刺激视锥细胞，产生神经脉冲信号，把可见光的不同频率同时“定格”在不同相位θ上，于是（4-12）式变成以相位θ为变量的函数式，得到：

如果说（4-12）式描述的是电磁波在时域t的动态函数，那么（4-13）式描述的则是以θ为变量的静态函数。对（4-13）式进行微分，得到：

dE=Ed(cos θ+i sin θ)=E(dcos θ+id sin θ)=E(-sin θdθ+i cos θdθ)

=Ei(isin θdθ+cos θdθ)=Ei(cos θ+i sin θ)dθ=iEdθ

移项，有：

加上边界条件，对（4-14）式积分，得到，既有，则有：

（2）光子动量反映的是光的粒子性，光子动量也是矢量。一个光子的动量是：，由于，又，于是该式变成式（4-16）：

式中P——一个光子圆频率为ω时的动量；

ħ——普朗克角常量等于1.055×10-34J·s；

c——光速，c=2.99792×108m·s-1。

光子的动量与其圆频率ω呈线性关系。我们知道，从光进入眼睛到产生色觉所需几十毫秒的时间，这一时间以T表示。我们还知道，能在人眼产生颜色视觉的光不是少数几个光子，而是一个光子数非常巨大的光子流。设某个频率v的光子数为n, n是一个很大的自然数，它体现了光的粒子特性。故在（4-16）式两边同乘以n，同时在（4-16）式右边再乘以TT，得到：

一个光子的动量乘以n, n个光子的动量仍然是动量，将常量系数归1，令，则（4-17）式变成：

由于在（4-17）式中加入了时间因子T，将（4-16）式中的ωT变成相位θ，使得（4-18）式的性质发生了质的变化。（4-16）式表达的是某一光子瞬时的动量，这是在时域里的动态矢量。而（4-18）式表达的是同一频率众多光子动量映射在复频域后与时域无关，而是一个相对静态的相矢量，实际就是复频谱相位的色矢量。这一点非常重要，因为这正是光与色既有联系，又有区别的关键所在。对（4-18）式微分：

加上边界条件，对（4-19）式积分，需要说明的是，（4-19）式右边是与某一个频率相关的相位θ，若要对可见光全频域积分，就是在复数域积分，所以还要加上符号“i”。这样积分如下：

由此得到，即：

通过以上积分变换及光的波粒二象性等三个不同的路径，将光的动态时域函数变成静态相域函数。首先是利用光作用于人的视锥细胞，产生神经脉冲信号，然后经过拉普拉斯变换和Z变换，导出（4-11）式：Z=reiθ。继而利用光的波粒二象性中的电磁波函数导出（4-15）式：E=e·eiθ。最后利用光子动量公式导出（4-21）式：P=p·eiθ。三个表达式左边因子Z、E和P物理意义虽有不同，然而它们都是以等式右边的相位因子θ作为指数，其指数函数的数学性质则是完全相同的。按照现代光学波粒二象性理论[11]，同一时刻在同一地点出现的同一个频率的光子数的概率振幅，等效于同一频率的复振幅。也就是说，（4-15）式中E与（4-21）式中的P在物理意义上是等效的，在函数关系上也是等值的。将三个式子左边的符号统一令Z=E=P，那么右边的符号是左边的绝对值，即r=E=p，则有：

由此可以看出，三个不同路径的推导殊途同归。（4-22）式表达的数学模型表明，从物理光学到人的视觉生理在光与色之间确实存在一条“普朗克链条”。人的视神经信号处理过程是物理、生理与心理多因素交织在一起的十分复杂的过程。这里另辟蹊径，用的数学模型仅仅抓住了光色的矢量特征，在复频谱上模拟了光与色的映射关系。