1.2　课后习题详解

1.1画出下列各信号的波形[式中r（t）＝tε（t）为斜升函数]。

（1）f（t）＝（2－3e^－t）ε（t）

（2）f（t）＝e^－|t|,－∞＜t＜∞

（3）f（t）＝sin（πt）ε（t）

（4）f（t）＝ε（sint）

（5）f（t）＝r（sint）

（6）

（7）f（k）＝2^kε（k）

（8）f（k）＝（k＋1）ε（k）

（9）

（10）f（k）＝[1＋（－1）^k]ε（k）

解：（1），t→＋∞，f（t）→2，绘制其波形图，如图1-9（a）所示。

（2），f（t）为偶函数，绘制其波形图，如图1-9（b）所示。

（3），sin（πt）周期为2，绘制其波形图，如图1-9（c）所示。

（4）f（t）为复合信号。当sin（t）＞0时，f（t）＝1，2kπ＜t＜π＋2kπ；sin（t）＜0时，f（t）＝0，π＋2kπ＜t＜2π＋2kπ。绘制其波形图，如图1-9（d）所示。

（5）f（t）为复合信号，由r（t）的定义

绘制其波形图，如图1-9（e）所示。

（6）f（k）为离散序列，f（k）＝2^－|k|，波形关于y轴对称，k→∞时，f（k）→0，如图1-9（f）所示。

（7），k→＋∞时，f（k）→＋∞绘制其波形图，如图1-9（g）所示。

（8），绘制其波形图，如图1-9（h）所示。

（9），是周期为8的离散正弦序列，绘制其波形图，如图1-9（i）所示。

（10），k≥0时，若k为奇数，f（k）＝0；若k为偶数，f（k）＝2，绘制其波形图，如图1-9（j）所示。

图1-9

1.2画出下列各信号的波形[式中r（t）＝tε（t）为斜升函数]。

（1）f（t）＝2ε（t＋1）－3ε（t－1）＋ε（t－2）

（2）f（t）＝r（t）－2r（t－1）＋r（t－2）

（3）f（t）＝ε（t）r（2－t）

（4）f（t）＝r（t）ε（2－t）

（5）f（t）＝r（2t）ε（2－t）

（6）f（t）＝sin（πt）[ε（t）－ε（t－1）]

（7）f（t）＝sinπ（t－1）[ε（2－t）－ε（－t）]

（8）f（k）＝k[ε（k）－ε（k－5）]

（9）f（k）＝2^－kε（k）

（10）f（k）＝2^{－（k－2）}ε（k－2）

（11）

（12）f（k）＝2^k[ε（3－k）－[ε（－k）]

解：（1），所以f（t）可写为

绘制其波形图，如图1-10（a）所示。

（2），所以f（t）可写为

绘制其波形图，如图1-10（b）所示。

（3）由r（t）＝tε（t），可知r（2－t）＝（2－t）ε（2－t），所以f（t）＝ε（t）r（2－t）＝（2－t）ε（2－t）ε（t），由

可知

所以

绘制其波形图，如图1-10（c）所示。

（4）f（t）＝tε（t）ε（2－t）

所以

绘制其波形图，如图1-10（d）所示。

（5）f（t）可写为f（t）＝2t·ε（2t）ε（2－t）

所以

绘制其波形图，如图1-10（e）所示。

（6）根据阶跃函数的特点，f（t）可写为

绘制其波形图，如图1-10（f）所示。

（7）

将sinπ（t－1）波形中0≤t≤2以外的部分截去即可得f（t）的波形图，如图1-10（g）所示。

（8）

绘制其波形图，如图1-10（h）所示。

（9）

绘制其波形图，如图1-10（i）所示。

（10）将f（k）＝2^－kε（k）的波形向右平移2得到f（k）＝2^{－（k－2）}ε（k－2），绘制其波形图，如图1-10（j）所示。

（11）ε（k）－ε（k－7），将中，0≤k＜7以外的部分截去即可得f（k）的波形图，如图1-10（k）所示。

（12）

保留2^k在0≤k≤3的部分即可得f（k）的波形图，如图1-10（l）所示。

图1-10

1.3写出图1-11所示各波形的表达式。

图1-11

解：（1）由图1-11（a）可知，f（t）由三个阶跃函数构成，向上跳跃阶跃函数的系数为正，向下跳跃阶跃函数的系数为负，跳跃幅值为系数值的大小，故f（t）＝2ε（t＋1）－ε（t－1）－ε（t－2）。

（2）由图1-11（b）可知f（t）＝（t＋1）[ε（t＋1）－ε（t－1）]＋（3－t）[ε（t－1）－ε（t－3）]＝r（t＋1）－2r（t－1）＋r（t－3）。

（3）由图1-11（c）可知，f（t）是幅值为10周期为2的正弦波在（0，1）区间上的波形，故f（t）＝10sin（πt）[ε（t）－ε（t－1）]。

（4）由图1-11（d）可知，将f（t）分段后叠加f（t）＝ε（－t－2）＋（2t＋5）[ε（t＋2）－ε（t＋1）]＋t[ε（t＋1）－ε（t－1）]＋ε（t－1），整理得f（t）＝ε（－t－2）＋（2t＋5）ε（t＋2）－（t＋5）ε（t＋1）－（t－1）ε（t－1）。

1.4写出图1-12所示各序列的闭合形式表达式。

图1-12

解：（a）f（k）＝ε（k＋2）；（b）f（k）＝ε（k－3）－ε（k－7）；（c）f（k）＝ε（－k＋2）；（d）f（k）＝（－1）^kε（k）（当k为偶数时，f（k）＝1；当k为奇数时，f（k）＝－1）。

1.5判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）f₅（t）＝3cost＋2sin（πt）

（6）f₆（t）＝cos（πt）ε（t）

解：（1）为有理数，所以f₁（k）是周期序列，周期为10。

（2）该序列的周期应为的最小公倍数，的周期为8，的周期为6，最小公倍数为24，所以该序列的周期为24。

（3）不是有理数，所以f₃（k）不是周期信号。

（4）为有理数，所以f₄（k）是周期信号，周期为6。

（5）该序列的周期应为3cost和2sin（πt）的最小公倍数，3cost周期为2π，2sin（πt）周期为2，2π和2没有最小公倍数，所以f₅（t）不是周期信号。

（6）在数轴上，零点左右该函数波形明显不同，所以f₆（t）不是周期信号。

1.6已知信号f（t）的波形如图1-13所示，画出下列各函数的波形。

图1-13

（1）f（t－1）ε（t）

（2）f（t－1）ε（t－1）

（3）f（2－t）

（4）f（2－t）ε（2－t）

（5）f（1－2t）

（6）f（0.5t－2）

（7）

（8）

解：（1）将f（t）波形右移1得f（t－1）波形，保留t＞0的部分，波形如图1-14（a）所示。

（2）将f（t）波形右移1得f（t－1）波形，保留t＞1的部分，波形如图1-14（b）所示。

（3），波形如图1-14（c）所示。

（4）将（3）中所得f（2－t）的波形截去t＞2的部分，波形如图1-14（d）所示。

（5），波形如图1-14（e）所示。

（6），波形如图1-14（f）所示。

（7）信号波形跳变处求导为冲激信号，例如图1-14中在t＝－2处，f（t）由0跳变到2，则求导后，此处为2δ（t＋2）。也可写出函数表达式然后求导，波形如图1-14（g）所示。

（8）积分，相当于f（t）*ε（t），信号积分后变得平滑，波形如图1-14（h）所示。

图1-14

1.7已知序列f（k）的图形如图1-15所示，画出下列各序列的图形。

图1-15

（1）f（k－2）ε（k）

（2）f（k－2）ε（k－2）

（3）f（k－2）[ε（k）－ε（k－4）]

（4）f（－k－2）

（5）f（－k＋2）ε（－k＋1）

（6）f（k）－f（k－3）

解：（1），如图1-16（a）所示。

（2），保留k≥2的部分，即为，如图1-16（b）所示。

（3），如图1-16（c）所示。

（4），如图1-16（d）所示。

（5），如图1-16（e）所示。

（6）f（k）右移3得到f（k－3），f（k）与－f（k－3）叠加，如图1-16（f）所示。

图1-16

1.8求图1-17所示各信号的一阶导数，并画出其波形。

图1-17

解：（a）

故d f₁（t）/dt＝[ε（t＋1）－ε（t）]－[ε（t）－ε（t－2）]＋δ（t－2）＝ε（t＋1）－2ε（t）＋ε（t－2）＋δ（t－2），波形如图1-18（a）所示。

（b）f₂（t）＝ε（t＋1）－ε（t）＋e^－t[ε（t）－ε（t－2）]，故d f₂（t）/dt＝δ（t＋1）－δ（t）－e^－t[ε（t）－ε（t－2）]＋e^－t[δ（t）－δ（t－2）]＝δ（t＋1）－e^－2δ（t－2）－e^－t[ε（t）－ε（t－2）]

波形如图1-18（b）所示。

（c）f₃（t）＝（－t/π）[ε（t＋π）－ε（t）]＋sint[ε（t）－ε（t－π）]，故d f₃（t）/dt＝（－1/π）[ε（t＋π）－ε（t）]＋（－t/π）[δ（t＋π）－δ（t）]＋cost[ε（t）－ε（t－π）]＋sint[δ（t）－δ（t－π）]＝（－1/π）[ε（t＋π）－ε（t）]＋δ（t＋π）＋cost[ε（t）－ε（t－π）]，波形如图1-18（c）所示。

（d）直接对f₄（t）求导得d f₄（t）/dt＝（1/2）ε（t＋2）－ε（t）]＋（1/2）ε（t－2）＋δ（t＋2）－δ（t－2），波形如图1-18（d）所示。

图1-18

1.9已知信号的波形如图1-19所示，分别画出f（t）和df（t）/dt的波形。

图1-19

解：利用尺度变换f（3－2t）展宽至原来的2倍得到f（3－t），如图1-20（a）所示。

f（3－t）反转得到f（3＋t），向右平移3得到f（t），如图1-20（b）所示。

由f（t）波形直接求导可得df（t）/dt的波形，跳变的部分用冲激函数表示，如图1-20（c）所示。

图1-20

1.10计算下列各题。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

解：（1）

（2）

所以

（3）

（4）

根据冲激偶函数的性质：

得

根据冲激函数的性质：

得

（5）

（6）根据冲激函数的尺度变换性质：

得

（7）

（8）因为f（t）δ＇（t）＝f（0）δ＇（t）－f＇（0）δ（t），所以（1－x）δ＇（x）＝δ＇（x）＋δ（x），则

1.11设a、b为常数（a≠0），试证

（提示：先证a＞0，再证a＜0）。

证明：令x＝at－b，a≠0，则有，分为两种情况讨论：

（1）若a＞0，则有a＝＋|a|，因此

（2）若a＜0，则有a＝－|a|，因此

综上

命题得证。

1.12如图1-21所示的电路，写出：

（1）以u_c（t）为响应的微分方程。

（2）以i_L（t）为响应的微分方程。

图1-21

解：（1）由KVL可得：u_S（t）＝u_L（t）＋u_C（t）

由KCL可得：i_L（t）＝i_R（t）＋i_C（t）

各元件端电流和端电压的关系为：

又

其中

故

则以u_C（t）为响应的微分方程：

（2）由（1）可知，u_S＇（t）＝u_L＇（t）＋u_C＇（t）

因为

所以

又

其中

故

则以i_L（t）为响应的微分方程：

1.13如图1-22所示的电路，写出：

（1）以u（t）为响应的微分方程。

（2）以i_C（t）为响应的微分方程。

图1-22

解：（1）由KVL可得：u（t）＝u_C（t）＋u_R（t）

由KCL可得：i_S（t）＝i_L（t）＋i_C（t）

各元件端电压端电流关系为：

由KCL方程可得：Ri_S（t）＝Ri_L（t）＋Ri_C（t）＝Ri_L（t）＋u_R（t）

联立KVL方程得：u（t）－Ri_S（t）＝u_C（t）－Ri_L（t）

方程两边微分得：u＇（t）－Ri_S＇（t）＝u_C＇（t）－Ri_L＇（t）

又u（t）＝Li_L＇（t），i_C（t）＝Cu_C＇（t）

所以

微分得：

整理得：

（2）KVL方程两边微分可得：u＇（t）＝u_C＇（t）＋u_R＇（t），代入各元件电压电流方程得：

所以

整理得：

1.14图1-23是机械减震系统，其中M为物体质量，K为弹簧的弹性系数，D为减震器的阻尼系数，y（t）为物体偏离平衡位置的位移，f（t）为加于物体M上的外力。列出以y（t）为响应的微分方程。[提示：弹性力等于Ky（t），阻尼力等于Dy＇（t）]。

图1-23

解：选取物体向上偏离平衡位置时为参考正方向，此机械减震系统中，物体所受外力包括加于物体M上的外力f（t）、弹簧强力Ky（t）、减震器阻尼力Dy＇（t），则物体M所受合外力为：F_总＝f（t）－Ky（t）－Dy＇（t），又F_总＝Ma，其中a＝y＂（t）为物体的加速度，则有f（t）－Ky（t）－Dy＇（t）＝Ma＝My＂（t）。

因此，以y（t）为响应的微分方程为

1.15图1-24是一种加速度计，它由束缚在弹簧上的物体M构成，其整体固定在平台上。如果物体质量为M，弹簧的弹性系数为K，物体M与加速度计间的粘性摩擦系数为B。设加速度计的位移为x₁（t），物体M的位移为x₂（t）。实际上，只能测得物体相对于加速度计的位移y（t）＝x₁（t）－x₂（t）。列出以x₁（t）为输入，以y（t）为输出的微分方程。

图1-24

解：物体向右偏离平衡位置时为参考正方向，物体所受外力包括弹簧弹力，加速度给物体的摩擦力By＇（t），则F_总＝Ky（t）＋By＇（t），又F_总＝Ma，且a＝x₂＂（t），a为物体的加速度。所以Ky（t）＋By＇（t）＝Mx₂＂（t）。又x₂（t）＝x₁（t）－y（t）则Ky（t）＋By＇（t）＝Mx₁＂（t）－My＂（t），因此，以x₁（t）为输入、y（t）为输出的微分方程：My＂（t）＋By＇（t）＋Ky（t）＝Mx₁＂（t）。

1.16图1-25是一个简单的水池调节系统。设水流入水池的流量为Q_in（设水池为柱形，其截面积为A），而经阀门流出的流量为Q_out，设流出的流量正比于水位高度H，即Q_out＝H/R（R为阀阻）。写出描述该系统H与Q_in关系的方程。（提示：计算Δt区间，池内水的体积的增量ΔV）。

图1-25

解：池内水的体积增量和高度满足ΔV＝AΔH

Δt时间内水的体积增量ΔV为：ΔV＝（Q_in－Q_out）Δt

则有：ΔV＝AΔH＝（Q_in－Q_out）Δt＝（Q_in－H/R）Δt，即

令Δt→0，上式两边取极限，可得H与Q_in关系的微分方程：

1.17航天器内部的热源以速率Q产生热量，其内部热量变化率为（m为航天器内空气质量，C_P为热容，T为内部温度），它耗散到外部空间的热速率等于K₀（T－T₀）（K₀为常数，T₀为外部温度，为常数）。写出描述温度T与Q关系的微分方程。（提示：内部热量变化率等于产生热量速率与散热速率之差。可设内外温差为y＝T－T₀）。

解：由热学知识可知，系统内部热量变化等于系统内部产生热量速率与散热速率之差

设内外温差为y＝T－T₀，则

整理得：

1.18一质点沿水平方向作直线运动，其在某一秒内走过的距离等于前一秒所行距离的1/2。若令y（k）是质点在第k秒末所在位置，写出y（k）的差分方程。

解：质点从第k－2秒到第k－1秒走过的距离为y（k－1）－y（k－2），从第k－1秒到第k秒走过的距离为y（k）－y（k－1），根据质点的运动规律，有y（k）－y（k－1）＝[y（k－1）－y（k－2）]/2，整理得，y（k）的差分方程为：y（k）－1.5y（k－1）＋0.5y（k－2）]＝0。

1.19在核子反应器中的每个粒子经过1s后都分裂为2个粒子。设从k＝0s开始每秒注入到反应器中f（k）个粒子。

（1）设x（k）为第k秒末反应器中的粒子数，写出其差分方程。

（2）每个粒子一分为二时，实际上其中之一是原有的，另一个是新生的。如果一个粒子的寿命为5s（例如从第0秒产生，到第5秒消失），若令y（k）为第k秒末的粒子数，写出y（k）的差分方程（设f（k）都是新生的）。

解：（1）粒子寿命无穷大，第k－1秒粒子数为x（k－1），在第k－1秒注入粒子f（k－1），根据粒子的分裂规律，可得第k秒粒子数为x（k）＝2x（k－1）＋f（k），整理得，差分方程为：x（k）－2x（k－1）＝f（k）。

（2）粒子寿命为5s，则在第k－5秒时新生的粒子以及新注入的粒子f（k－5）会在第k秒消失，根据粒子的分裂规律，可得第k秒的粒子数为y（k）＝2y（k－1）＋f（k）－f（k－5）－f（k－6），整理得，差分方程为：y（k）－2y（k－1）＋f（k－6）＝f（k）－f（k－5）。

1.20写出图1-26所示各系统的微分或差分方程。

图1-26

解：（1）图1-26（a）所示系统框图中有两个积分器，则该系统是二阶系统。设左端加法器的输出为x＂（t），则两个积分器（自上而下）的输出分别为x＇（t）和x（t）。

左端加法器的输出为：x＂（t）＝f（t）－2x（t）－3x＇（t），即x＂（t）＋3x＇（t）＋2x（t）＝f（t）。

右端加法器的输出为：y（t）＝x＂（t）－2x＇（t）

对上式微分得：

2y（t）＝[2x＂（t）]－2[2x＇（t）]

3y＇（t）＝[3x＂（t）]＇－2[3x＇（t）]＇

y＂（t）＝[x＂（t）]＂－2[x＇（t）]＂

以上三式相加得y＂（t）＋3y＇（t）＋2y（t）＝[x＂（t）＋3x＇（t）＋2x（t）]＂－2[x＂（t）＋3x＇（t）＋2x（t）]＇，又f（t）＝x＂（t）＋3x＇（t）＋2x（t），故y＂（t）＋3y＇（t）＋2y（t）＝f＂（t）－2f＇（t）。

（2）如图1-18（b）所示，设最下方积分器的输出为x（t）。

左端加法器的输出为：

即f（t）＝x⁽³⁾（t）＋2x＇（t）＋3x（t）

右端加法器的输出为：y（t）＝x＂（t）－4x＇（t）

对上式微分得

3y（t）＝[3x（t）]＂－4[3x（t）]

2y＇（t）＝[2x＇（t）]＂－4[2x＇（t）]

y⁽³⁾（t）＝[x⁽³⁾（t）]＂－4[x⁽³⁾（t）]

以上三式相加可得y⁽³⁾（t）＋2y＇（t）＋3y（t）＝[x⁽³⁾（t）＋2x＇（t）＋3x（t）]＂－4[x⁽³⁾（t）＋2x＇（t）＋3x（t）]，故y⁽³⁾（t）＋2y＇（t）＋3y（t）＝f＂（t）－4 f（t）。

（3）如图1-18（c）所示，设上方延迟单元的输入为x（k）。

左端加法器的输出为：x（k）＝f（k）＋2x（k－1）－4x（k－2）

右端加法器的输出为：y（k）＝2x（k－1）－x（k－2）

对上式移位得：－2y（k－1）＝2[－2x（k－2）]－[－2x（k－3）]，4y（k－2）＝2[4x（k－3）]－[4x（k－4）]

以上三式相加得：y（k）－2y（k－1）＋4y（k－2）＝2[x（k－1）－2x（k－2）＋4x（k－3）]－[x（k－2）－2x（k－3）＋4x（k－4）]

结合x（k）＝f（k）＋2x（k－1）－4x（k－2）及其延迟，可得：y（k）－2y（k－1）＋4y（k－2）＝2f（k－1）－f(x－2)

（4）如图1-18（d）所示，设上方迟延单元的输入为x（k）。

左方加法器的输出为：x（k）＝f（k）＋2x（k－2）

右方加法器的输出为：y（k）＝2x（k）＋3x（k－1）－4x（k－2）

对上式移位得：－2y（k－2）＝2[－2x（k－2）]＋3[－2x（k－3）]－4[－2x（k－4）]

以上两式相加得：y（k）－2y（k－2）＝2[x（k）－2x（k－2）]＋3[x（k－1）－2x（k－3）]－4[x（k－2）－2x（k－4）]，又f（k）＝x（k）－2x（k－2），故：y（k）－2y（k－2）＝2f（k）＋3 f（k－1）－4 f（k－2）。

1.21图1-27是一个简单的声学系统模型。

（1）声音信号f（t）在传播途中遇到障碍物将产生回声。设回声信号较原信号延迟T秒，衰减系数为a（a＜1）。于是在某处听到的声音信号y（t）的模型如图1-27（a）所示（图中T为延时T秒的延时器）。写出y（t）的表达式。

（2）为消除回声，需构造一个消除回声系统，如图1-27（b）所示，写出其输出z（t）的表达式，并证明z（t）＝f（t）。

图1-27

解：（1）延时T的输出为f（t－T），则系统输出为y（t）＝f（t）＋af（t－T）；（2）延时T的输出为z（t－T），则系统输出为z（t）＝y（t）－az（t－T），y（t）＝z（t）＋az（t－T），比较可得，z（t）与f（t）满足同样的方程，所以z（t）＝f（t）。

1.22图1-28所示的电阻梯形网络中，各串臂电阻均为R，各并臂电阻均为αR（α为常数）。将各结点依次编号，其序号为k（k＝1，2，…，N），相应结点电压为u（k）[显然有u（0）＝u_s，u（N）＝0，它们是边界条件]，试列出关于u（k）的差分方程。

图1-28

解：选取结点电压为u（k－1）的结点，由KCL可得

整理得，u（k）的差分方程为：

1.23设系统的初始状态为x（0），激励f（·），各系统的全响应y（·）与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。

（1）

（2）

（3）

（4）y（k）＝（0.5）^kx（0）＋f（k）f（k－2）

（5）

解：（1）系统的零输入响应和零状态响应分别为

满足可分解性。

①输入响应分析

设初始状态为x₁（0）、x₂（0）时系统的零输入响应分别为y_zi1（t）＝e^－tx₁（0），y_zi2（t）＝e^－tx₂（0），则当系统初始状态为x₃（0）＝ax₁（0）＋bx₂（0）时，系统的零输入响应为y_zi3（t）＝e^－tx₃（0）＝e^－t [ax₁（0）＋bx₂（0）]＝a[e^－tx₁（0）]＋b[e^－tx₂（0）]＝ay_zi1（t）＋by_zi2（t），故满足零输入线性。

②零状态响应分析

当系统输入为f₃（t）＝af₁（t）＋bf₂（t）时，系统零状态响应为

故满足零状态线性。

综上，系统是线性系统。

（2）由系统表示式知零输入响应和零状态响应分别为

全响应为：

不满足分解特性，则该系统为非线性。

（3）系统的零输入响应和零状态响应分别为

满足分解特性。

零输入响应分析

设初始状态为x₁（0）、x₂（0）时系统的零输入响应分别为y_zi1（t）＝sin[x₁（0）t]，y_zi2（t）＝sin[x₂（0）t]，当系统初始状态为x₃（0）＝ax₁（0）＋bx₂（0）时，系统的零输入响应为y_zi3（t）＝sin[x₃（0）t]＝sin{[ax₁（0）＋bx₂（0）]t}≠asin[x₁（0）t]＋bsin[x₂（0）t]＝ay_zi1（t）＋by_zi2（t），不满足零输入线性，所以不是线性系统。

（4）系统的零输入响应和零状态响应分别为y_zi（k）＝（0.5）^kx（0），y_zs（k）＝f（k）f（k－2），满足分解特性。

零状态响应分析

设系统的输入分别为f₁（k）、f₂（k）时的零状态响应分别为y_zs1（k）＝f₁（k）f₁（k－2），y_zs2（k）＝f₂（k）f₂（k－2），当系统的输入为f₃（k）＝af₁（k）＋bf₂（k）时，系统的零状态响应为y_zs3（k）＝f₃（k）f₃（k－2）＝[af₁（k）＋bf₂（k）][af₁（k－2）＋bf₁（k－2）]≠af₁（k）f₁（k－2）＋bf₂（k）f₂（k－2）＝ay_zs1（k）＋by_zs2（k），不满足零状态线性，所以不是线性系统。

（5）零输入和零状态响应分别为

满足分解特性。

①输入响应分析

设初始状态为x₁（0）、x₂（0）时系统的零输入响应分别为y_zi1（k）＝kx₁（0），y_zi2（k）＝kx₂（0），当系统初始状态为x₃（0）＝ax₁（0）＋bx₂（0）时，系统的零输入响应为y_zi3（t）＝kx₃（0）＝k[ax₁（0）＋bx₂（0）]＝ay_zi1（t）＋by_zi2（t），故满足零输入线性。

②零状态响应分析

设输入为f₁（k）、f₂（k）时系统的零状态响应分别为

当系统输入为f₃（k）＝af₁（k）＋bf₂（k）时，系统的零状态响应为

故满足零状态线性。

综上，系统是线性的。

1.24下列微分或差分方程所描述的系统，是线性的还是非线性的？是时变还是时不变的？

（1）y＇（t）＋2y（t）＝f＇（t）－2f（t）

（2）y＇（t）＋sinty（t）＝f（t）

（3）y＇（t）＋[y（t）]²＝f（t）

（4）y（k）＋（k－1）y（k－1）＝f（k）

（5）y（k）＋y（k－1）y（k－2）＝f（k）

解：如果系统的参数都是常数，它们不随时间变化，则称该系统为时不变系统或常参量系统，否则为时变系统。

（1）为线性、时不变系统，因为系统方程为常系数微分方程。

（2）为线性、时变系统，因为y（t）的系数为sin（t），是变系数。

（3）为非线性、时不变系统，因为方程中含y（t）的二次方项。

（4）为线性、时变系统，因为方程中y（k－1）的系数为（k－1），是变系数。

（5）为非线性、时不变系统，因为方程中出现了非线性项y（k－2）y（k－1）。

1.25设激励为f（·），下列是各系统的零状态响应y_zs（·）。判断各系统是否是线性的、时不变的、因果的、稳定的？

（1）

（2）y_zs（t）＝|f（t）|

（3）y_zs（t）＝f（t）cos（2πt）

（4）y_zs（t）＝f（－t）

（5）y_zs（k）＝f（k）f（k－1）

（6）y_zs（k）＝（k－2）f（k）

（7）

（8）y_zs（k）＝f（1－k）

解：（1）①判别线性

设输入为f₁（t）、f₂（t）时系统的零状态响应分别为y_zs1（t）＝f₁＇（t），y_zs2（t）＝f₂＇（t），当系统输入为f₃（t）＝af₁（t）＋bf₂（t）时，系统的零状态响应为y_zs3（t）＝f₃＇（t）＝af₁＇（t）＋bf₂＇（t）＝ay_zs1（t）＋by_zs2（t），满足零状态线性，为线性系统。

②判别时不变性

系统是时不变的。

③判别稳定性

当f（t）＝ε（t）时，y_zs（t）＝δ（t），在t＝0处，y_zs（t）→∞，为不稳定系统。

④判别因果性

当t＜t₀时，f（t）＝0，则此时有y_zs（0）＝f＇（t）＝0，为因果系统。

综上所述，该系统是线性，时不变，非稳定，因果的。

（2）①判别线性

设输入为f₁（t）、f₂（t）时系统的零状态响应分别为y_zs1（t）＝|f₁（t）|，y_zs2（t）＝|f₂（t）|，当输入f₃（t）＝af₁（t）＋bf₂（t）时，系统的零状态响应为y_zs3（t）＝|af₁（t）＋bf₂（t）|≠|af₁（t）|＋|bf₂（t）|，也就是y_zs3（t）≠ay_zs1（t）＋by_zs2（t），不满足可加性，为非线性系统。

②判别时不变性

设系统输入为f₁（t）＝f（t－t₀）时的零状态响应为y_zs1（t），则y_zs1（t）＝|f₁（t）|＝|f（t－t₀）|＝y_zs（t－t₀），系统是时不变的。

③判别稳定性

若|f（t）|＜∞，有|y_zs（t）|＝|f（t）|＜∞，为稳定系统。

④判别因果性

当t＜t₀时，f（t）＝0，则此时有|y_zs（t）|＝|f（t）|＝0，为因果系统。

综上所述，该系统是非线性，时不变，稳定，因果的。

（3）①判别线性

设输入为f₁（t）、f₂（t）时系统的零状态响应分别为y_zs1（t）＝f₁（t）cos（2πt），y_zs2（t）＝f₂（t）cos（2πt），当系统输入为f₃（t）＝af₁（t）＋bf₂（t）时，系统的零状态响应为y_zs3（t）＝f₃（t）cos（2πt）＝[af₁（t）＋bf₂（t）]cos（2πt）＝af₁（t）cos（2πt）＋bf₂（t）cos（2πt）＝ay_zs1（t）＋by_zs2（t），满足零状态线性，为线性系统。

②判别时不变性

设系统输入为f₁（t）＝f（t－t₀）时的零状态响应为y_zs1（t），则y_zs1（t）＝f₁（t）cos（2πt）＝f（t－t₀）cos（2πt）≠f（t－t₀）cos[2π（t－t₀）]＝y_zs（t－t₀），系统是时变的。

③判别稳定性

若|f（t）|＜∞，有|y_zs（t）|＝|f（t）||cos（2πt）|＜∞，为稳定系统。

④判别因果性

当t＜t₀时，f（t）＝0，此时有y_zs（t）＝f（t）cos（2πt）＝0，为因果系统。

综上所述，该系统是线性，时变，稳定，因果的。

（4）①判别线性

输入为f₁（t）、f₂（t）、f₃（t）＝af₁（t）＋bf₂（t）时系统的零状态响应分别为y_zs1（t）＝f₁（－t），y_zs2（t）＝f₂（－t），y_zs3（t）＝f₃（－t），满足y_zs3（t）＝af₁（－t）＋bf₂（－t）＝ay_zs1（t）＋by_zs2（t），系统是线性的。

②判别时不变性

y_zs1（t）＝f₁（－t）＝f（－t－t₀）≠f[－（t－t₀）]＝y_zs（t－t₀），系统是时变的。

③判别稳定性

若|f（t）|＜∞，则|y_zs（t）|＝|f（－t）|＜∞，系统稳定。

④判别因果性

当t＜t₀时，f（t）＝0，则有－t＜t₀，即t＞－t₀时，y_zs（t）＝f（－t）＝0，为非因果系统。

综上所述，该系统是线性，时变，稳定，非因果的。

（5）①判别线性

设输入为f₁（k）、f₂（k）时系统的零状态响应分别为y_zs1（k）＝f₁（k）f₁（k－1），y_zs2（k）＝f₂（k）f₂（k－1），当输入f₃（k）＝af₁（k）＋bf₂（k）时，y_zs3（k）＝f₃（k）f₃（k－1）＝[af₁（k）＋bf₂（k）][af₁（k－1）＋bf₂（k－1）]≠af₁（k）f₁（k－1）＋bf₂（k）f₂（k－1）＝ay_zs1（k）＋by_zs2（k），系统是非线性的。

②判别时不变性

y_zs1（k）＝f₁（k）f₁（k－1）＝f（k－k₀）f（k－1－k₀）＝y_zs（k－k₀），系统是时不变的。

③判别稳定性

若|f（k）|＜∞，则|y_zs（k）|＝|f（k）f（k－1）|＜∞，系统稳定。

④判别因果性

当k＜k₀，f（k）＝0，有y_zs（k）＝f（k）f（k－1）＝0，为因果系统。

综上所述，该系统是非线性，时不变，稳定，因果的。

（6）①判别线性

设输入为f₁（k）、f₂（k）时系统的零状态响应分别为y_zs1（k）＝（k－2）f₁（k），y_zs2（k）＝（k－2）f₂（k），输入f₃（k）＝af₁（k）＋bf₂（k）时，系统的零状态响应为y_zs3（k）＝（k－2）f₃（k）＝（k－2）[af₁（k）＋b f₂（k）]＝a（k－2）f₁（k）＋b（k－2）f₂（k）＝ay_zs1（k）＋by_zs2（k），为线性系统。

②判别时不变性

y_zs1（k）＝（k－2）f₁（k）＝（k－2）f（k－k₀）≠（k－k₀－2）f（k－k₀）＝y_zs（k－k₀），系统是时变的。

③判别稳定性

若|f（k）|＜∞，当k→∞时，|y_zs（k）|＝|k－2||f（k）|→∞，系统不稳定。

④判别因果性

当k＜k₀时，f（k）＝0，则此时有y_zs（k）＝（k－2）f（k）＝0，为因果系统。

综上所述，该系统是线性，时变，非稳定，因果的。

（7）①判别线性

设输入为f₁（k）、f₂（k），当输入f₃（k）＝af₁（k）＋bf₂（k）时

为线性系统。

②判别时不变性

系统是时变的。

③判别稳定性

若f（k）＝ε（k），则

当k→∞时，，系统不稳定。

④判别因果性

当k＜k₀时，f（k）＝0，则此时有

为因果系统。

综上所述，该系统是线性，时变，不稳定，因果的。

（8）①判别线性

系统明显为线性系统。

②判别时不变性

y_zs1（k）＝f₁（1－k）＝f（1－k－k₀）≠f[1－（k－k₀）]＝y_zs（k－k₀），系统是时变的。

③判别稳定性

若|f（k）|＜∞，则|y_zs（k）|＝|f（1－k）|＜∞，为稳定系统。

④判别因果性

当k＜k₀时，f（k）＝0，则1－k＜k₀时，即k＞1－k₀时，y_zs（k）＝f（1－k）＝0，为非因果系统。

综上所述，该系统是线性，时变，稳定，非因果的。

1.26某LTI连续系统，已知当激励f（t）＝ε（t）时，其零状态响应y_zs（t）＝e^2tε（t）。求：

（1）当输入为冲激函数δ（t）时的零状态响应。

（2）当输入为斜升函数tε（t）时的零状态响应。

解：（1）冲激函数是阶跃函数的导函数，根据LTI系统具有的微分特性，可得零状态响应为

（2），根据LTI系统具有的积分特性，可得零状态响应为

1.27某LTI连续系统，其初始状态一定，已知当激励为f（t）时，其全响应为y₁（t）＝e^－t＋cos（πt），t≥0，若初始状态不变，激励为2f（t）时，其全响应为y₂（t）＝2cos（πt），t≥0，求初始状态不变而激励为3f（t）时系统的全响应。

解：根据LTI系统的分解特性有

初始状态不变、激励为2f（t）时，系统的全响应为

联立式①②得：y_zi（t）＝2e^－t，y_zs（t）＝－e^－t＋cos（πt），t≥0

初始状态不变、激励为3f（t）时，系统的全响应为y₃（t）＝y_zi（t）＋3 y_zs（t）＝－e^－t＋3cos（πt），t≥0

1.28某一阶LTI离散系统，其初始状态为x（0）。已知当激励为f（k）时，其全响应为y₁（k）＝ε（k），若初始状态不变，激励为－f（k）时，其全响应为y₂（k）＝[2（0.5）^k－1]ε（k），若初始状态为2x（0），激励为4f（k）时，求其全响应。

解：根据LTI系统的分解特性有

初始状态不变、激励为f（k）时，根据系统的齐次线性可知，系统的全响应为

联立式①②得：y_zi（k）＝（0.5）^kε（k），y_zs（k）＝[1－（0.5）^k]ε（k）

初始状态为2x（0），激励为4f（k）时，系统的全响应为y₃（k）＝2y_zi（k）＋4y_zs（k）＝[4－2（0.5）^k]ε（k）。

1.29某二阶LTI连续系统的初始状态x₁（0）和x₂（0），已知当x₁（0）＝1和x₂（0）＝0时，其零输入响应为y_zi1（t）＝e^－t＋e^－2t，t≥0。

当x₁（0）＝0，x₂（0）＝1时，其零输入响应为y_zi2（t）＝e^－t－e^－2t，t≥0

当x₁（0）＝1，x₂（0）＝－1时，而输入为f（t）时，其全响应为y（t）＝2＋e^－t，t≥0

求当x₁（0）＝3，x₂（0）＝2时，输入为2f（t）时的全响应。

解：根据零输入响应的齐次性和可加性，当x₁（0）＝1，x₂（0）＝－1时，系统的零输入响应为y_zi（t）＝y_zi1（t）－y_zi2（t）＝2e^－2t，t≥0。当输入为f（t）时，系统的零状态响应为y_zs（t）＝y（t）－y_zi（t）＝2＋e^－t－2e^－2t，t≥0。因此，当x₁（0）＝3，x₂（0）＝2时，输入为2f（t）时，系统的全响应为y（t）＝3y_zi1（t）＋2 y_zi2（t）＋2 y_zs（t）＝4＋7e^－t－3e^－2t，t≥0。

1.30某LTI离散系统，已知当激励为图1-29（a）所示的信号f₁（k）[即单位序列δ（k）]时，其零状态响应如图1-29（b）所示。求：

（1）当激励为图1-29（c）所示的信号f₂（k）时，系统的零状态响应。

（2）当激励为图1-29（d）所示的信号f₃（k）时，系统的零状态响应。

图1-29

解：f₁（k）＝δ（k），零状态响应：y_zs1（k）＝δ（k－1）＋δ（k－2）＋δ（k－3）。

（1）由图1-29（c）得：f₂（k）＝δ（k－1）＋δ（k－2）＋δ（k－3），y_zs2（k）＝y_zs1（k－1）＋y_zs1（k－2）＋y_zs1（k－3）＝δ（k－2）＋δ（k－3）＋δ（k－4）＋δ（k－3）＋δ（k－4）＋δ（k－5）＋δ（k－4）＋δ（k－5）＋δ（k－6）＝δ（k－2）＋2δ（k－3）＋3δ（k－4）＋4δ（k－5）＋δ（k－6）。

（2）由图1-29（d）得：f₃（k）＝δ（k－1）＋2δ（k－2）＋3δ（k－3），y_zs3（k）＝y_zs1（k－1）＋2y_zs1（k－2）＋3y_zs1（k－3）＝δ（k－2）＋3δ（k－3）＋6δ（k－4）＋5δ（k－5）＋3δ（k－6）。

1.31如有LTI连续系统S，已知当激励为阶跃函数ε（t）时，其零状态响应为ε（t）－2ε（t－1）＋ε（t－2），现将两个完全相同的系统相级联，如图1-30（a）所示。当这个复合系统的输入为图1-30（b）所示的信号f（t）时，求该系统的零状态响应。

图1-30

解：当激励为阶跃函数ε（t）时，系统零状态响应为y_zs1（t）＝ε（t）－2ε（t－1）＋ε（t－2），将此信号作为系统S的输入信号，零状态响应为y_zs2（t）＝y_zs1（t）－2y_zs1（t－1）＋y_zs1（t－2）＝ε（t）－2ε（t－1）＋ε（t－2）－2[ε（t－1）－2ε（t－2）＋ε（t－3）]＋ε（t－2）－2ε（t－3）＋ε（t－4）＝ε（t）－4ε（t－1）＋6ε（t－2）－4ε（t－3）＋ε（t－4）。

输入信号为：f（t）＝ε（t）－ε（t－2）

则有：y_zs（t）＝ε（t）－4ε（t－1）＋5ε（t－2）－5ε（t－4）＋4ε（t－5）－ε（t－6）。

1.32某LTI连续系统由两个子系统并联组成，如图1-31所示。已知当输入为冲激函数δ（t）时，子系统S₁的零状态响应为δ（t）－δ（t－1），子系统S₂的零状态响应为δ（t－2）－δ（t－3），求当输入f（t）＝ε（t）时，复合系统的零状态响应。

图1-31

解：设当输入为冲激函数δ（t）时，输出为δ（t）－δ（t－1），则复合系统的零状态响应为y_zs3（t）＝y_zs1（t）－y_zs2（t）＝δ（t）－δ（t－1）－δ（t－2）＋δ（t－3），由于

根据LTI的积分特性，当输入f（t）＝ε（t）时，复合系统的零状态响应为