第3章　离散系统的时域分析

3.1　复习笔记

一、基本概念

1前向差分与后向差分

一阶前向差分

一阶后向差分

2．差分方程

包含未知序列及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式

二、离散系统的时域分析

与连续系统的时域分析类似，离散系统的时域分析也是分析求解系统响应的过程，全部在时间域里进行。不同的是离散系统的数学模型是借助差分方程，求解系统响应常用两种方法：时域经典法与时域卷积和法。

1．经典解法

与微分方程经典解类似，全解y（k）＝齐次解y_h（k）＋特解y_p（k）。

（1）齐次解y_h（k）

齐次解由齐次方程解出。设差分方程的n个特征根为

。齐次解的形式取决于特征根，y_h（k）又称自由响应。

①当特征根λ为单根时，齐次解y_h（k）形式为：

②当特征根λ为r重根时，齐次解y_h（k）形式为：

③有一对共轭复根，齐次解y_h（k）形式为：，其中

（2）特解y_p（k）

特解y_p（k）的求解过程类同连续系统时求y_p（t）的过程。

差分方程的齐次解又称为系统的自由响应，特解又称强迫响应。

2．卷积和法

全响应y（k）＝零输入响应y_zi（k）＋零状态响应y_zs（k）

其求解过程如下：

①建立系统的差分方程；

②特征值→求零输入响应y_zi（k）；

③单位样值响应→利用卷积和求零状态响应y_zs（k）＝h（k）*f（k）；

④全响应y（k）＝y_zi（k）＋y_zs（k）。

三、零输入响应和零状态响应

1零输入响应y_zi（k）

激励为零时，仅由系统的初始状态引起的响应，若特征根为单根时，则零状态响应为

起始条件代入上式求出。

2．零状态响应y_zs（k）

当系统的初始状态为零，仅由激励所产生的响应，若特征根为单根时，则零状态响应为

y_p（k）求法同经典解法一样。由零状态条件用递推法导出，再代入上式求出。

系统的全响应既可以分解为自由响应和强迫响应，又可以分解为零输入响应和零状态响应。

四、单位序列响应和阶跃响应

1单位序列响应

由单位序列δ（k）所引起的零状态响应，称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h（k），即。

2．阶跃响应

由阶跃序列ε（k）所引起的零状态响应，称为阶跃响应，记为g（k），即。

二者关系

五、卷积和的定义与性质

1卷积和的定义

2．卷积和的计算方法

（1）图解法的步骤为：换元→反转→平移→相乘→求和。

（2）解析法：利用定义式和性质计算。

（3）不进位乘法或列表法，比较适用于时限序列。

3．性质

（1）交换律

（2）分配律

（3）结合律

（4）卷积和的差分

（5）卷积和的累和

（6）卷积和的差分、累和

前提条件：

（7）卷积和的延迟

（8）与单位序列的卷积和

（9）与阶跃序列的卷积和

4.卷积和法求解零状态响应

利用卷积和法可以很方便求解出零状态响应，如图3-1所示，可知。

图3-1