2.3 线性组合的几何意义

假设存在两个不共线的向量，分别对它们做数乘运算，然后再相加，就可以组合出坐标系中的任何向量，这一过程就是线性组合。值得一提的是，参与组合的一对向量不能是零向量，因为对零向量数乘所得到的向量永远是零向量。如果其中任何一个向量是零向量，那么讨论线性组合就没有意义了。

线性组合的几何意义如图2-7所示。假设有实数a和b、不共线向量v和w， p向量是它们线性组合的结果向量，即p=av+bw，那么p可以是二维空间中的任意向量（图中的多个箭头代表任意可能的向量）。

换一个角度来描述，如果向量p固定，则不论向量v和w怎么变，都存在一组系数，使v和w仅通过一次组合就得到这个p。

理解向量的几何意义，是为了更好地理解坐标系和线性组合的关系。2.1节中讲过，向量和是标准平面直角坐标系的基向量，因为它们不共线，也都不是零向量，所以它们可以通过线性组合表示出整个二维空间中的任意向量。

反过来说，在一个标准平面直角坐标系中，任何一个向量都可以看作向量和的线性组合。例如，向量。

如果分别将（1, 0）和（0, 1）表示为向量x和y，那么向量3x+4 y可以表示为（3, 4），也就是说向量（3, 4）是x和y的线性组合。由于（1, 0）和（0, 1）两个向量是该坐标系的基向量，所以对它们所乘的数值就直接代表相应坐标值，因而可以直接写成（3, 4）。

但是，如果在不是以（1, 0）和（0, 1）为基向量的坐标系中，就不能省略（1, 0）和（0, 1）两个向量了。例如，图2-8中的虚线坐标轴形成了一个新坐标系，它的基向量已经不再是原来的（1, 0）和（0, 1）了。所以如果仍然用（1, 0）和（0, 1）向量在新坐标系中表示其他向量，就不能省略（1, 0）和（0, 1）。

假设（1， 0）和（0， 1）在新的坐标系中分别对应（x1 ，y1 ）和（x2 ，y2 ） ，则坐标（3， 4）在新坐标系中的位置就要表示为下式：

其实还可以用另一种写法来表示线性组合：将两个基向量合并起来，写在一起，如下式：在新坐标系中表示如下：

我们在这里提前看到了矩阵的写法：就是一个矩阵。

什么是矩阵呢？矩阵是由一组维数相同的向量构成的数字阵。

· 坐标系内的向量都是由基向量线性组合而成的。

· 同一向量放在不同坐标系内，对应的坐标不同。

现在再来看2.1节中的式子：

上式可以解读为：标准平面直角坐标系中的点（2， 6）在坐标系（可以将矩阵看成坐标系的一种表示方法）中的位置。