§4 直纹面_解析几何(第三版)-QQ阅读女频幻言网

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§4　直　纹　面

我们看到，柱面和锥面都是由直线组成的.这样的曲面称为直纹面.确切地说：

定义4.1　一曲面S称为直纹面，如果存在一族直线，使得这一族中的每一条直线全在S上，并且S上的每个点都在这一族的某一条直线上.这样一族直线称为S的一族直母线.

二次曲面中哪些是直纹面？二次柱面（9种）和二次锥面（1种）都是直纹面.椭球面（3种）不是直纹面，因为它有界.双叶双曲面不是直纹面，因为当它由方程（3.4）给出时，平行于Oxy平面的直线不可能全在S上，与Oxy平面相交的直线也不会全在S上.类似地可知，椭圆抛物面不是直纹面.剩下2种二次曲面：单叶双曲面和双曲抛物面，我们现在来说明它们都是直纹面.

定理4.1　单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面.

证明　设单叶双曲面S的方程是

点M0（x0，y0，z0）T在单叶双曲面S上的充分必要条件是

移项并且分解因式，得

即

或

因为不全为零，所以方程组

是X,Y的一次齐次方程组.由（4.3）式知，方程组（4.5）有非零解，即存在不全为零的实数μ0，ν0，使得

这表明点M0在直线

上.现在考虑一族直线：

其中μ，ν取所有不全为零的实数.若（μ1，ν1）与（μ2，ν2）成比例，则它们确定直线族（4.7）中的同一条直线；若它们不成比例，则它们确定不同的直线.所以直线族（4.7）实际上只依赖于一个参数：μ与ν的比值.上面证明了：单叶双曲面S上的任一点M0在直线族（4.7）的某一条直线（4.6）上.现在从直线族（4.7）中任取一条直线l1，它对应于（μ1，ν1），且在l1上任取一点M1（x1，y1，z1）T，则有

因为μ1，ν1不全为零，所以（4.8）式说明二元一次齐次方程组

有非零解，从而方程组（4.9）的系数行列式等于零.于是，由本证明的开始部分知，M1（x1，y1，z1）T在单叶双曲面S上.所以，S是直纹面，且直线族（4.7）是它的一族直母线.

类似地，用（4.4）式可得S的另一族直母线：

其中μ，ν取所有不全为零的实数（如图3.20）.

类似的方法可以证明双曲抛物面也是直纹面.若它的方程是

则它有两族直母线：

和

其中λ取所有实数（如图3.21）.

图3.20

图3.21

习题　3.4

1.求单叶双曲面的经过点（2，3，-4）T的直母线.

2.求直线族

所形成的曲面.

3.求与下列三条直线同时共面的直线所构成的曲面：

4.求所有与直线

都共面，且与平面

π：2x+3y-5=0

平行的直线所构成的曲面的方程.

5.设有直线l1和l2，它们的方程分别是

求所有由l1，l2上有相同参数值t的点的连线所构成的曲面的方程.

6.证明：马鞍面同族的所有直母线都平行于同一个平面，并且同族的任意两条直母线异面.

7.证明：马鞍面异族的任意两条直母线必相交.

*8.证明：单叶双曲面同族中的任意三条直母线都不平行于同一个平面.

*9.证明：单叶双曲面同族的两条直母线异面.

*10.证明：单叶双曲面异族的两条直母线共面.

11.求马鞍面的正交直母线的交点轨迹.

*12.给定单叶双曲面

求经过S上一点M0（x0，y0，z0）T，沿方向（X,Y，Z）T的直线是S的直母线的条件.由此证明：经过S上每一点恰有两条直母线.

*13.证明：单叶双曲面的每条直母线都与腰椭圆相交.

*14.设l1，l2是异面直线，它们都与Oxy平面相交，证明：与

l1，l2都共面，并且与Oxy平面平行的直线所构成的曲面是马鞍面.

*15.设三条直线l1，l2，l3两两异面，并且平行于同一平面，证明：与l1，l2，l3都相交的直线所构成的曲面是马鞍面.

§5　曲面的交线，曲面所围成的区域

5.1　画空间图形常用的三种方法

在纸上画空间图形时，常用的有以下三种方法：

（1）斜二测法（即斜二等轴测投影法）.让z轴垂直向上，y轴水平向右，x轴与y轴，z轴分别成135°角.规定y轴与z轴的单位长度相等，而x轴的单位长度为y轴的单位长度的一半（如图3.22）.

（2）正等测法（即正等轴测投影法）.让z轴垂直向上，x轴，y轴，z轴两两成120°角.规定三根轴的单位长度相等（如图3.23）.

图3.22

图3.23

（3）正二测法（即正二等轴测投影法）.让z轴垂直向上，x轴与z轴的夹角为90°+α，其中α是锐角，且tanα≈7/8；y轴与z轴的夹角为90°+β，其中β是锐角，且tanβ≈1/8.规定z轴和y轴的单位长度相等，而x轴的单位长度为y轴的单位长度的一半（如图3.24）.有时也让x轴与z轴夹角为90°+β，其中tanβ≈1/8；y轴的负向与z轴的夹角为90°+α，其中tanα≈7/8.此时x轴与z轴的单位长度相等，y轴的单位长度为z轴的单位长度的一半（如图3.25）.

图3.24

图3.25

一般来说，采用正二测法画出的图形较逼真.我们现在用正二测法画空间中的一个圆，它的方程是

先过点M（0，2，0）T分别作z轴和x轴的平行线，并截取ME=ME′=1（z轴的单位长度），截取MF=MF′=1（x轴的单位长度）.过E,E′，F,F′分别作x轴和z轴的平行线，相交成一个平行四边形AB-CD.再作它的内切椭圆，使切点为E,E′，F,F′，则所画的这个内切椭圆就是我们所要画的空间中的圆，如图3.26所示（注：在画出直线EE′，FF′后，也可用描点法画出我们所要画的圆）.

图3.26

画空间中的椭圆的方法与上述类似.画空间中的双曲线或抛物线时，先画出它们所在的平面（若它平行于坐标面，则类似于上述画直线EE′和FF′），然后在这个平面内用描点法画出双曲线或抛物线.我们已经会画空间中的椭圆、双曲线、抛物线，从而也就容易画出§3中用标准方程给出的二次曲面了.例如，画单叶双曲面

只要先画出用z=±c截曲面所得的截口椭圆以及腰椭圆，再画出曲面与Ozx平面和Oyz平面相交所得的双曲线，最后画出必要的轮廓线就可以了（如图3.16）.

5.2　曲线在坐标平面上的投影，曲面的交线的画法

空间中任一点M以及它在三个坐标平面上的投影点M1，M2，M3这四个点中，只要知道了其中两个点，就可以画出另外两个点.譬如，若知道了M2，M3两个点，则只要分别过M2，M3画出投影线（平行于相应坐标轴的直线），它们的交点就是点M，再过M画投影线（平行于z轴），它与Oxy平面的交点就是点M1（如图3.27）.