§1　球面和旋转面

1.1　球面的普通方程

我们来求球心为M0（x0，y0，z0）T，半径为R的球面的方程.点M（x,y，z）T在这个球面上的充分必要条件是M即

（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=R2，（1.1）

展开得

x2+y2+z2+2b1x+2b2y+2b3z+c=0，（1.2）

（1.1）式或（1.2）式就是所求球面的方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项（指xy,xz,yz项），平方项的系数相同.反之，任一形如（1.2）式的方程经过配方后可写成

其中b1=-x0，b2=-y0，b3=-z0，c=x20+y20+z20-R2.

当时，它表示一个球心在（-b1，-b2，-b3）T，半径为的球面；当时，它表示一个点（-b1，-b2，-b3）T；当时，它没有轨迹（或者说它表示一个虚球面）.

1.2　球面的参数方程，点的球面坐标

如果球心在原点，半径为R，在球面上任取一点M（x,y，z）T，从M作Oxy平面的垂线，垂足为N，连接OM,ON，设x轴的正半轴

到的角度为φ，到的角度为θ（M在Oxy平面上方时，θ

为正的，反之为负的），如图3.1所示，则有

（1.3）式称为球心在原点，半径为R的球面的参数方程，它有两个参数θ，φ，其中θ称为纬度，φ称为经度.球面上的每一个点（除去它与z轴的交点）对应唯一的实数对（θ，φ），因此（θ，φ）T称为球面上点的曲纹坐标.

因为几何空间中任一点M（x,y，z）T必在以原点为球心，以为半径的球面上，

而球面上的点（除去它与z轴的交点外）又由它

的曲纹坐标（θ，φ）T唯一确定，因此，除去z轴外，几何空间中的点M由有序三元实数组（R，θ，φ）唯一确定.我们把（R，θ，φ）T称为几何空间中点M的球面坐标（或空间极坐标），其中

点M的球面坐标（R，θ，φ）T与M的直角坐标（x,y，z）T的关系为

1.3　曲面和曲线的普通方程、参数方程

从球面的方程（1.2）和球面的参数方程（1.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程F（x,y，z）=0，曲面的参数方程是含两个参数的方程：

其中，对于（u，υ）的每一对值，由方程（1.5）确定的点（x,y，z）T在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由（u，υ）的某一对值通过方程（1.5）表示.于是，通过曲面的参数方程（1.5），曲面上的点（可能要除去个别点）便可以由数对（u，υ）来确定，因此（u，υ）T称为曲面上点的曲纹坐标.

几何空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立：

即几何空间中曲线可以看成两个曲面的交线.曲线的参数方程是含有一个参数的方程：

其中，对于t（a≤t≤b）的每一个值，由方程（1.6）确定的点（x,y，z）T在此曲线上；而此曲线上任一点的坐标都可由t的某个值通过方程（1.6）表示.

例如，球面x2+y2+z2=R2与Oxy平面相交所得的圆的普通方程为

而这个圆的参数方程是

1.4　旋转面

球面可以看成一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面.现在来研究更一般的情形.

定义1.1　一条曲线Γ绕一条直线l旋转所得的曲面称为旋转面，其中l称为轴，Γ称为母线.

如图3.2所示，母线Γ上每个点M0绕l旋转得到一个圆，称为纬圆.纬圆与轴垂直.过l的半平面与旋转面的交线称为经线（或子午线）.经线可以作为母线，但母线不一定是经线.

已知轴l经过点M1（x1，y1，z1）T，方向向量为υ（l,m，n）T，母线Γ的方程为

我们来求旋转面的方程.

点M（x,y，z）T在旋转面上的充分必要条件是M在经过母线Γ上某一点M0（x0，y0，z0）T的纬圆上（如图3.2），即有母线Γ上的一点M0，使得M和M0到轴l的距离相等（或到轴上一点M1的距离相等），并且因此有

从这个方程组中消去参数x0，y0，z0，就得到x,y，z的方程，它就是所求旋转面的方程.

现在设旋转面的轴为z轴，母线Γ在Oyz平面上，其方程为

则点M（x,y，z）T在旋转面上的充分必要条件是

消去参数x0，y0，z0，得

（1.7）式就是所求旋转面的方程.由此看出，为了得到由Oyz平面上的曲线Γ绕z轴旋转所得旋转面的方程，只要将母线Γ在Oyz平面上的方程中y改成，z不动.坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转面的方程都有类似的规律.

例1.1　母线

绕z轴旋转所得旋转面的方程为

x2+y2=2pz.

这个曲面称为旋转抛物面（如图3.3）.

例1.2　母线

绕x轴旋转所得旋转面的方程为

这个曲面称为旋转双叶双曲面（如图3.4）.Γ绕y轴旋转所得旋转面的方程为

这个曲面称为旋转单叶双曲面（如图3.5）.

例1.3　圆

绕z轴旋转所得旋转面的方程为

即

（x2+y2+z2+a2-r2）2=4a2（x2+y2）.

这个曲面称为环面（如图3.6）.

例1.4　设l1和l2是两条异面直线，它们不垂直，求l2绕l1旋转所得旋转面的方程.

解　设l1和l2的距离为a.以l1为z轴，l1和l2的公垂线为x轴，且让l2与x轴的交点坐标为（a，0，0）T，建立一个右手直角坐标系.设l2的方向向量为υ（l,m，n）T.因为l2与x轴垂直，所以υ·e=0，得l=0.因为l2与l1异面，所以υ与e3不共线.于是m≠0.因此可设υ1的坐标为（0，1，b）T.因为l1与l2不垂直，所以υ·e3≠0.于是b≠0.因此l2的参数方程为

点M（x,y，z）T在旋转面上的充分必要条件是

消去参数x0，y0，z0，t，得

即

这是一个旋转单叶双曲面.

习题　3.1

1.求下列球面的球心和半径：

（1）x2+y2+z2-12x+4y-6z=0；

（2）x2+y2+z2-2x+4y-6z-22=0.

2.求下列球面的方程：

（1）以点A（1，0，3）T，B（2，-1，4）T的连线段为直径；

（2）经过点（1，-1，1）T，（1，2，-1）T，（2，3，0）T和坐标原点；

（3）经过点（1，2，5）T，与三个坐标平面相切；

（4）经过点（2，-4，3）T，且包含圆

3.经过球面上一点与此点所作半径相垂直的平面叫做切面.给定球面

x2+y2+z2+2x-4y+4z-20=0，

求经过该球面上一点（2，4，2）T的切面的方程.

4.设平面Ax+By+Cz+D=0（A＞0；B,C，D＜0）与三个坐标平面组成一个四面体，求内切于这个四面体的球面的方程.

5.求下列圆的圆心和半径：

6.求经过三点（3，0，0）T，（0，2，0）T，（0，0，1）T的圆的方程.

7.证明曲线

是一个圆，并求该圆的圆心及半径.

*8.证明曲线

表示一条球面曲线，并且求它所在的球面.

9.求下列旋转所得旋转面的方程：

*10.证明表示一个旋转面，并且求它的母线和轴.

11.适当选取右手直角坐标系，求下列轨迹的方程：

（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；

（2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；

（3）到定平面和定点等距离的点的轨迹.