第2章 信号处理基础

地震勘探的主要目标是采集地震波信号并对它们进行分析处理，从而获取地层的结构信息和地下的油气信息，因此信号处理是地震勘探中最核心技术之一。本章主要介绍在地震勘探仪器中广泛使用的信号处理的有关知识，主要包括信号与系统的基本概念、模拟信号的数字处理方法、信号的频谱及数字滤波等问题。

2.1 信号的基本概念

信号是消息或信息的载体和运载工具，几乎无处不在，广义上讲，我们处理的每项工作都是在和信号打交道或进行信号处理。信号处理作为一门学科，主要是建立信号的理论基础，分析信号的基本属性，研究信号的处理方法与各种信号之间的相互转换，并探讨各种处理方法的可靠、高效的实现技术，以便更好地对信号进行采集、传输、存储与应用。信号处理涉及面十分广泛，渗透到了工业的每个部门和科学技术的各个领域，同时也是电子信息、通信、仪器仪表、自动控制、地球物理等专业的技术基础。

2.1.1 基本概念

1.信号的定义

以下是有关消息、信息与信号的基本定义。

消息（Message）：在通信系统中，一般将语言、文字、图像或数据统称为消息。

信息（Information）：一般指消息中赋予人们的新知识、新概念，是人们在交流与通信中需要获取的新内容。在通信和信息系统中，信息具有严格的定义。

信号（Signal）：指消息的具体表现形式与传送载体。对信号进行处理就是要从中提取所需要的消息与信息。

2.信号的分类

可根据信号的物理特性和数学特性两个方面进行分类。

（1）按物理特性分类

电信号和非电信号：从物理特性出发，信号可分成电信号和非电信号。电信号指能在电路中传输的信号，自然界大多数信号，如光、电、声、力、热等都是非电信号。

连续信号和离散信号：根据信号存在的时间，信号可分为连续时间信号和离散时间信号。连续时间信号指信号在一定的时间间隔内不间断持续存在的信号，并且其幅值可取任何连续的数值。现实中的大多数随时间变化的信号大都是以连续时间信号的形式存在的，对于这种在时间上和幅度上都是连续的信号有时也称为模拟信号。

离散时间信号：指信号存在的时间是离散的，只在一些特定的时间存在。例如，按年度或月份发布的人口统计数据和各种经济运行数据，一些控制系统中的定时控制开关量等，由计算机产生的信号等。对离散时间信号又可按信号幅值的取值范围分为抽样信号和数字信号。抽样信号虽然在时间上是离散的，但其幅度取值是连续的，如通过对模拟信号定时抽样得到的信号就是典型的抽样信号，这也是抽样信号名字的由来。数字信号则在时间和幅度的取值上都是离散的。事实上所有能在数字电路和计算机上处理的信号都是数字信号。

（2）按数学特性分类

为了便于分析，往往将信号用某种数学模型或数学函数来描述，信号按其在数学上的统计特性可分为随机信号和确定信号。确定信号指描述信号的函数可以用确定的解析公式给出，这样对于每个确定的时刻，信号的值都是已知的。例如，常用的正弦信号，只要知道了信号的幅度、频率和初始相位，信号在任何时刻的值都是已知的。另一类信号是所谓的随机信号，对这类信号，信号在某个特定时刻的值是不能预先确切知道的，对它们的数学描述只能采用概率统计的方法。从获取信息的角度出发，只有随机信号才是有意义的，因为确定信号是预先就知道了的，不能给出任何新的信息，而且从信息论我们知道信号的不确定度越大或随机性越强，所包含的信息量就越大。严格地讲，通信系统中传输的信号、科学研究中对自然界探测获得的各种有用信号大都是随机信号。虽然如此，但本书只讨论确定信号的处理，因为这是研究随机信号的基础。

此外，从描述信号的自变量或坐标系来讲，信号又可分为一维信号、二维信号和三维信号，甚至多维信号。例如，语音和音乐信号就是典型的随时间变化的一维信号，图像信号是随空间二维坐标变化的二维信号，而视频信号则是随时间变化的图像，是典型的三维信号。也有人将随时间在空间传播的电磁波信号作为四维信号来处理。对地震仪器来说，单个地震检波器检测的是随时间变化的一维信号，而作为三维勘探得到的地震剖面则是二维的图像信号，如果再将地层深度加上，就构成了一个能描绘某个区块地层结构的三维立体图形。本书重点讨论一维信号处理，而且其自变量通常假定为时间。

3.信号的表示方法

信号一般可采用函数、图形或列表的形式来表示。如果信号具有函数表达式，则总可用图形和列表的形式来表达，但有些信号就只能用图形或列表来表示。

（1）模拟时间信号的时域表示

模拟时间信号在数学上可用时间函数x（t）来表示。例如，正弦信号用公式表示为

x（t）=sin（ω0t）－∞＜t＜∞

其图形表示如图2-1-1所示。

（2）离散时间信号的时域表示

离散时间信号在数学上可用时间序列{x（n）}来表示。其中，x（n）代表序列的第n个样点的数字，n代表时间的序号，n的可取值范围为－∞＜n＜∞的整数，n取其他值x（n）没有意义。

例如，离散正弦信号用公式表示为

x（n）=sinωn n=0，±1，±2，±3，…

其图形表示如图2-1-2所示。图中横坐标n表示离散的时间坐标，但仅在n为整数时才有意义；纵坐标则代表信号样点的值。

2.1.2 信号的基本属性

1.时间特性

时间特性指信号的值在信号持续内的变化特性。任何信号都具有一定的持续时间，即信号存在的时间，有的信号是永远存在的，其持续时间保持在整个时间轴（－∞，+∞），如自然界的噪声。但大部分信号都只在一定的时间间隔内存在，在实际应用中为了方便，通常规定信号出现的起始时刻作为信号的零点。在设定了时间零点后，通常称只存在于零点以后的信号为因果信号，而在零点以前仍然存在的信号为非因果信号。

2.周期性与非周期性

（1）模拟信号的周期性

模拟信号的周期性是指若表示信号的函数x（t）满足

其中，T是使上式成立的最小正数，则称x（t）是以T为周期的周期信号。例如，正弦信号x（t）=sin（ω0t+φ），就是周期为的周期信号。

（2）离散信号（序列）的周期性

序列的周期性是指若序列x（n）满足

且N是使上式成立的最小正整数，则称x（n）是以N为周期的周期序列。图2-1-3为周期序列的示意图。需要指出的是，按照周期序列的定义，对正弦序列x（n）=sin（ω0n+φ），因为

其中，k为整数，除非p=2πk/ω0 为整数，否则正弦序列没有周期。

3.频率特性（频带特性）

频率特性指信号所具有的频率成分，又称为信号的频谱。最简单的信号就是只具有一个频率的正弦信号。严格地讲，频率特性是一种数学分析特性，按照傅里叶变换，任何信号都可以通过傅里叶变换而求出所包含的频率成分。下面以模拟信号为例进行说明，对于离散信号的频谱，将在后面给予详细说明。

（1）非周期信号的频谱

给定一个时间变量t的连续非周期函数x（t），它的傅里叶变换由下面的积分来定义

式中，X（jΩ）为变量t的傅氏变换，Ω为角频率变量。频率f与角频率的关系为Ω=2πf。通常称X（jΩ）为信号的频谱。傅里叶变换可以进行反变换，即对给定的X（jΩ），相应的时间函数为

而且这种变换是一一对应的，因此信号既可以用信号的时间特性来表示，也可以用频率特性来表示。当信号包含的频率成分在有限的频率范围时，称信号为带限信号或频带信号。一般而言，当信号在时间上为有限时，它的频带是无限的，反过来当信号的频带有限时，它在时间上则是无限长的。

（2）周期信号的频谱

对周期为T的周期信号x（t），它的傅里叶变换不存在，但可将其分解为傅里叶级数，即

其中

Ωs为信号的基波频率。kΩs为信号的各次谐波频率，Ak称为周期信号各次谐波的离散频谱，一般为复数。由式（2-1-5）可见，周期信号可以分解为各次谐波之和。同时，由式（2-1-3）和式（2-1-6）可见，对频率变量Ω而言，非周期信号的频谱是连续的，而周期信号的频谱则是离散的。

（3）幅度谱与相位谱

通常，X（jΩ）为复数，利用复数的性质，X（jΩ）表示成频率的另外两种函数。

X（jΩ）用实部分量和虚部分量表示为

式中，Xr（jΩ）和Xi（jΩ）为X（jΩ）的傅里叶变换的实部和虚部。

此外，X（jΩ）也可以表示成极坐标的形式

式中，A（Ω）和φ（Ω）分别为信号的振幅谱和相位谱，它们用下面的公式计算

4.信号的功率与能量特性

（1）模拟信号的能量与功率

信号都携带有能量，为了描述信号的能量特性，将信号分为能量信号和功率信号。对电信号可看作是随时间变化的电压或电流，当信号通过单位电阻时将会消耗能量和功率。模拟信号x（t）在1Ω的电阻上的瞬时功率为 x（t）2，在时间区间[－T，T]内所消耗的总能量和平均功率分别定义为

总能量

平均功率

（2）离散信号的能量与功率

对有界信号定义，序列的总能量E为序列各样值的平方和，即

对于非周期序列x（n），若序列为无限长，其平均功率定义为

（3）能量信号和功率信号

当能量E＜∞时，称信号为能量有限信号。若信号的长度为有限长时，只要信号的值x（t）和x（n）是有限值，信号的能量就是有限的。但当信号的长度为无限长时，即使信号x（t）和x（n）是有界的，信号的能量也不一定是有限的。

当有界信号的能量为有限值时，若在整个时间上求平均，则平均功率等于零，这种信号称为能量信号。能量为无限的信号的平均功率可以是有限的，也可以是无限的，当平均功率为有限值时，称该信号为功率信号。

而对于周期信号，它的能量总是无限的，对分别以T和N为周期的模拟信号x～（t）和周期序列x～（n），其平均功率分别定义为

和

2.2 模拟信号的数字处理

2.2.1 信号处理的基本概念

信号处理是将一种信号改变成另一种信号的过程，信号的改变在时间域表现为波形的变化或者时间的延迟，而在频率域则表现为频率成分的改变。按照处理的对象不同，信号处理技术可分为模拟信号处理和数字信号处理两大类。模拟信号处理只对模拟信号进行，实现的方式主要是模拟电路，包括电阻、电容、电感及各种放大器件组成的传统电子电路，当输入的模拟信号通过电路后，在输出端就变成了另一种模拟信号。数字信号处理针对的是数字信号，采用各种数字电路、计算机及各种专用芯片组成的数字设备来实现，当数字信号输入到这样的系统后，通过数字计算就变成了另外一种数字信号。在现实世界中的各种信号大都是在时间上连续的模拟信号，例如语音信号、地震信号等，传统上都采用模拟信号处理技术进行处理。但随着电子技术、计算机技术及信息技术的发展，数字信号处理技术无论是在性能与功能、可靠性与稳定性、可编程特性、小型化与节能、制造成本与研发周期等都大大优于模拟信号处理技术，因此在以往采用模拟信号处理的许多领域现在都普遍采用数字信号处理方法，这也就是所谓模拟信号的数字处理。例如，地震勘探信号是模拟信号，对它的处理就是典型的模拟信号数字处理。图2-2-1是模拟信号数字处理系统的典型框图，输入的模拟信号经传感、预放、滤波等预处理后送给A/D转换器转换成数字信号，这一部分称为数据采集，采集得到的数字信号再送入计算机或专用数字设备进行数字信号处理，最后再将处理后的数字信号经相反的转换器，即数模（D/A）转换器，转换成模拟信号输出，这个最后环节有时也称为回放与显示。现代地震勘探仪器都包括所有数据采集、数字信号处理和回放与显示三大部分。当然，在比较简单的系统中并不一定包含这里给出的所有功能框图，有的系统中只需要数字输出，如输出用于控制的开关变量、数字的图形显示数据等。有时系统的输入本来就是数字信号，也就没有必要进行A/D转化了。

由图2-2-1可见，由于数字系统只能处理数字信号，要想对模拟信号进行数字处理，首先要将模拟信号转换成数字信号。图2-2-2给出了信号转换的流程。

按图2-2-2所示非电信号进行处理之前，首先要通过传感器转换成电信号，如地震波动信号可以通过地震检波器转换为电信号；如果信号是连续时间信号，要通过抽样变成离散信号或抽样信号；然后再对抽样信号进行量化而最终成为数字信号，这一过程称为模数（A/D）转换。本节将首先对有关抽样、量化和A/D转换的问题进行详细讨论，此外还将对数字信号转换成模拟信号的数模（D/A）转换过程进行说明。

2.2.2 抽样与抽样定理

模拟信号数字处理的第一个工作就是将在时间上连续的模拟信号离散化，使之变成在时间上离散的信号。信号离散化的过程就是将连续时间信号进行抽样，仅抽取信号波形某些特定时刻的样值。当抽样时刻取均匀等间隔点时为均匀抽样，否则为非均匀抽样。由于实际工作中大都是均匀抽样，下面只讨论这种情况。

均匀抽样可以看作为一个脉冲调制过程。调制信号为输入的模拟信号xa（t），载波信号是一串周期为T、脉宽为τ的矩形脉冲串p（t），调制后的输出就是抽样信号（t），即

这一过程将输入的连续模拟信号xa（t）转换成了脉冲串。显然，脉冲宽度τ越小，抽样输出脉冲的幅度就越准确地反映出输入信号在离散抽样时刻点上的瞬时值。当τ趋于零的极限情况，脉冲序列p（t）变成了冲激函数串，称这种抽样为理想抽样。在理想抽样时，冲激函数准确地出现在采样瞬间，而它的面积则准确地等于输入信号在采样瞬间的幅值。实际上理想抽样是不可能实现的，但当τ≪T时，就可近似看成是理想抽样。下面详细讨论理想抽样的情况，图2-2-3是理想抽样的过程示意图。

用M（t）表示冲激函数串

仍用表示理想抽样的输出，即

将式（2-2-2）代入式（2-2-3）得

由于δ（t－mT）只在t=mT时不为零，故有

因此）实际上是xa（t）在离散时刻mT的取值xa（mT）的集合，可采用序列记号{xa（mT）}（m=0，±1，±2，…）来表示。

对信号抽样最关心的一个问题是：信号经抽样后是否会丢失信息，或者说能不失真地恢复原来的模拟信号。由于信号的时域描述与频域描述是一一对应的，为了回答这一问题，下面从频域出发研究理想抽样信号的频谱与原来模拟信号xa（t）的频谱的关系，并讨论在什么条件下，可从抽样信号中无失真地恢复出原来信号xa（t）。

设模拟信号xa（t），冲激函数串M（t），抽样脉冲串以及抽样信号的傅里叶变换分别为：Xa（jΩ），M（jΩ）和＾Xa（jΩ），对式（2-2-4）两边进行傅里叶变换，可以求得抽样信号的频谱为

上式表明，一个连续时间信号经过理想抽样后，其频谱将以抽样频率Ωs=2π/T为间隔周期重复，如图2-2-4所示（频谱大都是复数，图中仅画出了其幅度谱）。也就是说，理想抽样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，周期为Ωs，其频谱的幅度与原信号的谱相差一个常数因子1/T。所以除一个常数因子区别外，每个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的交叠，则有可能恢复出原信号。如果xa（t）为带限信号，即其频谱限制在某一最高频率Ωh范围内，即

那么当对带限信号的抽样频率满足Ωh≤Ωs/2时，那么原来频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图2-2-4（b）所示。这时采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱。也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。

但是，如果信号的最高频率Ωh 超过Ωs/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，无法再将单个频谱区分开，因而无法再不失真地还原出原来的连续信号，即产生了所谓“混叠失真”，如图2-2-4（c）所示。通常称Ωs/2为折叠频率或奈奎斯特（Nyquist）频率，而称式（2-2-6）所规定的频谱为基带谱。

由此得出下面重要结论：要想连续信号抽样后能够不失真地还原成原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率（Ωh≤Ωs/2），这就是奈奎斯特抽样定理。

按抽样定理，信号必须是带限信号才能不会出现混叠失真。但严格地讲，带限信号是不存在的，因为一般信号在时间上都是有限的。因此在实际应用中，当采样频率与信号的有用频段相比不是大很多时，为了避免混叠，一般在抽样器前要加入一个保护性的前置低通滤波器，其截止频率Ωc小于Ωs/2，以便滤除高于Ωs/2的频率分量，这就是在图2-2-1中A/D前端放置的低通滤波器的作用，该滤波器有时也称为“抗混叠滤波器”。

2.2.3 A/D转换器的基本结构

如前面指出，将模拟信号转换成数字信号的工作是由A/D转换器来完成的。任何A/D转换器都包括3个基本的功能，这就是抽样、抽样保持、量化与编码。其框图如图2-2-5所示。

抽样的过程已在前面进行了说明，量化是将无限精度的抽样信号幅度离散化使之变成能用有限字长表示的数字信号，编码则是将数字信号最终表示成为数字系统所能接受的形式。通常对抽样信号抽样点的值进行量化和编码都需要一定的时间，为了保证在进行量化和编码期间其值不发生改变，在量化和编码之前需对抽样点值加以保持，这就是框图中的抽样保持。前面已经指出，将模拟信号进行抽样变成抽样信号时只要满足抽样定理，就可由抽样信号不失真地恢复原来的信号。与此不同，将抽样信号进行量化变成数字信号时将产生失真，而且是不可恢复的。失真的大小与量化时表示数据的位数有关，这就是所谓量化信噪比，它直接决定了A/D转换器的性能。由于量化噪声的分析涉及较多数字信号处理的知识，有关量化噪声的内容将在2.7节进行说明。A/D转换器是信号采集与处理中最常用的器件之一，类型和实现的方式很多，有关具体实现方法可参阅相关的手册和资料。

2.2.4 抽样信号的恢复与D/A转换器

1.抽样信号恢复的过程

前面已经说明如果抽样过程满足奈奎斯特抽样定理，即信号频谱的最高频率小于折叠频率，则抽样不会产生频谱混叠。由式（2-2-6）知

故将通过以下截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器（见图2-2-6（a））

就可得到原信号频谱，即

由于

所以在输出端就恢复成了原模拟信号，上式中F－1[·]表示傅里叶逆变换。

2.D/A转换器的基本原理

D/A转换器的框图如图2-2-7所示。

译码将数字信号x（n）转换成抽样信号x（nT）=，零阶保持器的作用是将每个抽样信号的样值保持一个抽样间隔宽度，直到下一个抽样时刻，这相当于在一个抽样间隔内进行常数内插，变成了模拟信号，其图形如图2-2-8所示。

零阶保持器的单位冲激响应h1（t）及其频率响应H1（jΩ）分别为

其时域与频域幅度波形分别如图2-2-9（a）、（b）所示。

由H1（jΩ）的波形可见，它是一个低通滤波器，能起到将抽样信号转换成模拟信号的作用。但H1（jΩ）的响应与理想滤波器的频率响应H（jΩ）相比具有较大的差别，前者具有更多的高频分量，因而恢复出的模拟信号具有如图2-2-8（b）所示的阶梯式波形。为了使信号变得平滑，需要在其后接一个低通滤波器，滤去其中的高频成分，这也就是为什么在D/A转换器后面总要接一个平滑用的低通滤波器的原因。该滤波器有时包含在D/A转换器之中，有时则需要在外面接入，视具体的D/A转换器而定。和A/D转换器一样，D/A转换器的类型和实现的方式也很多，有关具体实现方法可参阅相关的手册和资料。2.8节将对在地震数据采集站中普遍采用的过采样Δ-ΣD/A转换器进行详细讨论。

2.3 离散时间信号与系统

前面对信号的一些基本概念及模拟信号数字处理的方法进行了介绍，由于地震仪器主要采用的模拟信号数字处理方法，因此从本节开始，限于篇幅本章的后面部分除特别声明外，将主要讨论数字信号处理方面的内容。由于离散时间信号在数学上都用序列来表示，在后面的叙述中二者将不区分。

2.3.1 离散时间信号

1.离散信号的运算

离散信号有以下几种最基本运算。

（1）序列的加减

序列的加减指将两序列序号相同的数值进行相加减，即

y（n）=x1（n）±x2（n）

（2）序列的乘积

序列的乘积指将两序列序号相同的数值相乘，即

y（n）=x1（n）·x2（n）

（3）序列的延时

序列的延时是将序列全体在时间轴上移动，即

y（n）=x（n－n0）

n0＜ 0左移，n0＞ 0右移

（4）序列乘常数

序列乘以常数指将序列的每个值都乘以常数，即

y（n）=ax（n）

（5）序列的反褶

序列的反褶是将序列以n=0为对称轴进行对褶，即

y（n）=x（－n）

（6）序列的差分运算

序列的差分运算指同一序列相邻两个样点之差，分为前向差分和后向差分。

前向差分

Δx（n）=x（n+1）－x（n）

后向差分

Δx（n）=x（n）－x（n－1）

当对序列进行多次差分时，就变成了高次差分，如二次差分

Δ2x（n）= Δ[ Δx（n）]= Δx（n）－ Δ（n－1）

=x（n）－2x（n－1）+x（n－2）

差分运算是离散线性系统差分方程描述以及Δ-ΣA/D和D/A转换器的基础。

2.一些常用序列

有几种最常用的简单时间序列，这些序列在数字信号处理中具有十分重要的作用。

（1）单位脉冲序列δ（n）

该信号仅在n=0时，取确定值1，其他时刻都为零。如图2-3-1所示，其表达式为

δ（n）在离散信号和系统中的作用和冲激函数δ（t）在连续信号和系统中的作用一样重要。

（2）单位阶跃序列u（n）

单位阶跃序列u（n）如图2-3-2所示。它与单位脉冲序列的关系为

δ（n）=u（n）－u（n－1）

（3）矩形序列RN（n）

它与u（n）的关系为

RN（n）=u（n）－u（n－N）

图2-3-3所示为矩形序列RN（n）的示意图。

（4）复指数序列

式中，ω0为数字频率，有关数字频率的概念将在后面详细说明。将复指数表示成实部与虚部

x（n）=eσn co sω0n+j eσn sinω0n

当σ=0时

其实部与虚部分别为余弦与正弦序列。

3.用单位脉冲序列表示任意序列

任意序列x（n）都可用单位脉冲序列δ（n）表示成加权和的形式

上述表达式在离散系统分析中是一个十分有用的公式。

2.3.2 离散时间系统

1.线性时不变系统

在信号处理中将对信号进行处理的设备通称为系统。所谓系统就是指将输入信号变换成输出信号的一种运算。在数学上通常将系统表示成一种变换。设离散时间系统的输入序列x（n），经过系统的规定运算，变成为输出序列y（n），用T[]表示变换关系，如图2-3-4所示，则有

在离散时间系统中，最基本的系统是线性时不变系统，它是研究其他系统的基础。该系统具有以下性质。

（1）线性性

若系统满足叠加原理

则称该系统为线性系统。

（2）时不变特性

若系统的变换关系不随时间变化，或者说系统的输出随输入的移位而相应移位但形状不变，则称该系统为时不变系统，用公式表示，设

y（n）=T[x（n）]

那么一定有

2.线性时不变系统的构成

线性时不变系统由以下3个元件组成，它们与离散信号的相加、乘常数及延时3种基本运算相对应。

① 加法器，用于实现序列的加法运算，其图形表示如图2-3-5（a）所示。

② 系数乘法器，用于实现序列的乘以常数的运算，在物理意义上相当于放大器。其图形表示如图2-3-5（b）所示。

③ 延时器，用于实现序列的延时操作，在物理上可由移位寄存器来实现。其图形表示如图2-3-5（c）所示。

图2-3-6是一个由这些元件构成的简单的线性时不变系统，其数学表达式为

采用更多的元件可构成更复杂的系统，但不管多复杂的系统，都是由这3个元件组成的。

2.3.3 离散时间系统时域分析

1.线性时不变系统的差分方程描述

在图2-3-6中，用基本元件构成了一个简单的线性时不变系统，其数学表达式由式（2-3-10）表示，该方程是一个一阶差分方程，对于一般的更复杂的离散时间线性时不变系统，可用以下形式的高阶常系数线性差分方程来表示它们的输入/输出关系

式中，系数ak（k=1，…，N），bk（k=0，…，M）是由系统结构决定的常数，不随时间的改变而改变。所谓线性是指方程中仅有y（n－k）的一次幂且不存在它们的相乘项。差分方程阶数用方程式中y（n－n）的最高阶与最低阶之差来表示，对于式（2-3-11），其阶数为N。差分方程的阶数代表了系统的复杂程度，在实际工作中，通常也称它为线性系统的阶数，对数字滤波器这种专用的线性系统，也将系统的阶数称为滤波器的节数。系统的阶数由构成系统中的延时器的个数决定。

2.线性时不变系统的求解

对任何一个系统最关心的是给定系统的输入后，求得系统的输出，由输入求输出的过程称为对系统的求解。对线性时不变系统而言，求解系统的方法分为时域法和频域法。有关频域法将在后面讨论，这里先讨论时域方法。时域方法主要有两种：一是直接求解差分方程，另一种是由系统的单位脉冲响应通过卷积的方法求系统输出。

（1）差分方程的求解

直接求解差分方程常用的方法有：①经典解法；②递推方法。直接求解差分方程时，一般要首先根据系统的具体情况，给出初始条件，当初始条件为零时，所得的解称为零状态响应。若初始条件不为零，还必须考虑零输入响应，即由系统的初始储能产生的响应。若输入的信号为单位脉冲δ（n）时，所得的零状态响应解就是系统的单位脉冲响应。具体解法可参阅有关“数字信号处理”的书籍。

（2）线性时不变系统的单位脉冲响应与卷积求解

当线性时不变系统的输入为单位脉冲δ（n）时，此时系统的输出y（n）被称为单位脉冲响应。通常用h（n）表示，即

h（n）=T[δ（n）] （2-3-12）若已知系统的h（n），对于任意的输入x（n），利用线性时不变特性可求得其输出y（n）为

称式（2-3-13）为x（n）与h（n）的线性卷积，用符号“*”表示。它是线性系统分析中最重要的公式之一，它说明线性时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲响应序列的卷积。这表明h（n）实际上代表了系统的输入/输出特性，因此在许多时候，直接用h（n）来代表系统，如图2-3-7所示。由于h（n）实际上是一个序列，由此可见，从数学上说信号和系统是统一的，都可用序列来表示。

2.3.4 系统的因果性与稳定性

1.系统的因果性

因果性是指系统在n时刻的输出仅取决于n时刻和n时刻以前的输入，而与n时刻以后的输入无关。因果性说明了系统的可实现性，如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因果系统，因而是不可实现的。可以证明，线性时不变系统具有因果性的充要条件为

类似地，如果一个序列x（n）满足

即在n＜0时，x（n）=0，则称该序列为因果序列。

2.系统的稳定性

所谓系统的稳定性是指系统对于任何有界输入，输出也应是有界的，通常称这种稳定性为有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。稳定性说明了系统性能的可靠性，可以证明系统的稳定条件为

2.4 离散时间信号与系统的频域分析

在2.1节中，将任意序列x（n）表示成延时的单位脉冲序列{δ（n－m）}的加权和的形式（见式（2-3-6）），并由此出发得到了离散时间线性时不变系统时域分析中的最重要概念，即线性时不变系统的单位脉冲序列响应及系统输入/输出响应的卷积关系。本节将考虑用复指数序列{z－n}与{e－ωj n}来对序列进行描述，并将由此得到离散时间线性时不变系统频域分析中的有用概念和结果。本节首先讨论序列的Z变换与傅里叶变换，然后讨论系统的频域分析方法。

2.4.1 序列的Z变换

Z变换是离散时间系统分析中最重要的工具之一，它的作用就如同拉氏变换在连续时间信号与系统中的作用一样。下面从采样信号的拉氏变换出发，引入Z变换的概念。

1.Z变换的定义

对一般的时间序列x（n），定义关于复变量z的函数

称为序列x（n）的双边Z变换。

按照式（2-4-1）的定义，Z变换实际上为复变量z的幂级数。显然只有当该幂级数收敛时，Z变换才有意义。对于任意给定序列x（n），使Z变换收敛的所有z值的集合称为X（z）的收敛域。按照级数收敛理论，收敛的必要充分条件是满足绝对可和条件

对于不同的序列x（n），可求得相应的收敛域。

2.逆Z变换

从给定的Z变换表达式（包括收敛域）求原序列的过程称为逆Z变换，由Z变换的定义式可见，这实质上是求X（z）的幂级数展开式各项的系数。

求逆Z变换常用的有3种基本方法：围线积分法、部分分式展开法和长除法（或幂级数展开法）。有关Z变换的收敛域和逆Z变换方面更多的内容可参见“数字信号处理”的书籍，限于篇幅这里不作讨论。

当采用围线积分法时，可用以下公式来求逆Z变换

3.Z变换的性质与定理

Z变换有许多性质与定理，下面列出几个最最要的性质。

（1）线性性

Z变换是一种线性变换，满足叠加原理。如果序列x（n）和y（n）的Z变换分别用X（z）和Y（z）表示

Z[x（n）]=X（z） Rx－＜ z ＜Rx+

Z[y（n）]=Y（z） Ry－＜ z ＜Ry+

其中，Rx－＜ z ＜Rx+，Ry－＜ z ＜Ry+为序列x（n）和y（n）的收敛域。则

（2）序列的移位

如果Z[x（n）]=X（z），Rx－＜ z ＜Rx+，则

这里n0可以为正（右移），也可为负（左移）。

（3）卷积定理

若

Z[x（n）]=X（z） Rx－＜ z ＜Rx+

Z[h（n）]=H（z）Rh－＜ z ＜Rh+

y（n）=x（n）*h（n）

则

卷积定理是离散时间信号与系统分析中最重要的定理之一，卷积定理说明序列在时间域的卷积在Z域为乘积。按照卷积定理，显然有

y（n）=Z－1[X（z）H（z）]

（4）相关定理

利用卷积定理可以很容易证明序列的相关定理。已知序列x（n）和y（n）的互相关序列

则rxy（m）的Z变换为

若y（n）=x（n），则自相关序列rxx（m）的Z变换为

（5）序列相乘的Z变换

若

则

其中，C是在v平面上X与H（v）公共收敛域中绕原点的一条闭合曲线。

由于两个信号在时域相乘，代表了信号的调制过程，因此，上述定理也称为Z域调制定理。

2.4.2 序列的傅里叶变换

序列的傅里叶变换是离散时间信号分析与处理的最重要工具之一。它给出了序列频谱的概念，并由此可从频域来对离散时间信号和系统进行分析。

1.序列傅里叶正变换

x（n）的傅里叶变换定义为

是ω的连续函数。但由于e－ωj n=e－j（ω+2πM）n，其中M为整数，故有

可见X（eωj）还是ω的周期函数，周期为2π。由于X（eωj）的周期性，式（2-4-9）可看成对X（eωj）的傅里叶级数展开，x（n）为其展开系数。

2.序列的傅里叶反变换

序列的傅里叶反变换记为x（n）=F－1[X（eωj）]，由于序列的傅里叶变换是Z变换在z=eωj 时的特殊情况。根据求逆Z变换的式（2-4-2），可得到序列的傅里叶反变换的公式为

3.序列傅里叶变换与Z变换的关系

比较式（2-4-10）与前面Z变换的定义式（2-4-1），显然可见序列的傅里叶变换是Z变换在z=eωj 时的Z变换，即Z变换在|z|=1的单位圆上的特殊情况。故有

4.序列傅里叶变换的物理意义

现在考虑抽样序列的傅里叶变换

利用

上式可化简为

若令z=ejΩT，将抽样序列x（nT）简记为一般的时间序列x（n），比较式（2-4-13）与序列Z变换的定义式（2-4-1），可见Z变换与抽样序列傅里叶变换的关系为

在2.2节曾指出抽样序列的傅里叶变换即抽样序列的频谱，即式（2-2-5）

结合式（2-4-14）和式（2-2-5），说明抽样序列在单位圆上的Z变换就等于抽样序列的傅里叶变换，也就是序列的频谱。这表明序列的傅里叶变换也就是序列的频谱。由于序列的傅里叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。

而对于傅里叶变换中的变量ω，由于它直接对应着傅里叶变换的频率变量Ω。因此ω具有频率的意义，称为数字频率。比较z=ejΩT与z=eωj，可见

式（2-4-15）表明数字频率是模拟频率相对抽样频率的归一化，单位为弧度。

序列的傅里叶变换，X（eωj）一般为ω的复变函数，可表示为

其中，XR（eωj），XI（eωj）分别为X（eωj）的实部和虚部，通常称|X（eωj）|为序列的幅频特性或幅度谱，而称φ（ω）=argX（eωj）为相位谱。

它们也都是ω的连续函数和周期为2π的周期函数。

5.序列的傅里叶变换的收敛条件

根据级数收敛的条件，序列傅里叶变换式（2-4-9）存在的条件为

这要求序列满足绝对可和的条件，但需要指出的是，该条件是序列傅里叶变换存在的充分条件，不是必要条件，有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅里叶变换依然存在。

6.序列傅里叶变换的性质

既然序列的傅里叶变换是Z变换在 z =1的单位圆上的特例，故所有Z变换的性质对傅里叶变换都成立。所有性质都可直接由Z变换令z=eωj 得到，下面以表格的形式直接列出，见表2-4-1。

2.4.3 离散时间系统频域分析

在2.3节介绍了离散时间系统的时域分析方法，其核心内容为系统的单位脉冲响应为h（n）和卷积运算。与之对应，本节将以系统函数和传输函数为核心来研究系统的频域分析方法，它们分别是h（n）的Z变换和傅里叶变换。对于线性时不变系统，频域分析提供了另一种有效的分析方法。

1.系统的系统函数与频率响应

已知系统单位脉冲响应为h（n），线性时不变系统零状态响应的输入/输出关系为

两边取Z变换得

则

称H（z）为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换

系统函数在单位圆上的Z变换，即单位脉冲响应的傅里叶变换

这就是系统的频率响应。H（eωj ）又称为系统的传输函数。频率响应有明显的物理意义，当给系统输入一个频率为ω0的单频率信号时，输出仍然是同一频率的信号，但它的幅度与相位都因为H（eωj 0）的加权而发生了变化，且H（eωj ）的值是随频率ω的变化而变化的。

H（eωj）一般是ω的复变函数，在讨论系统的频率响应时常将它表示为

的形式，其中HR（eωj ），HI（eωj ）分别为H（eωj ）的实部和虚部，通常称|H（eωj ）|为系统的幅频特性或幅度谱，而称φ（ω）=argH（eωj ）为系统的相位谱，它们也都是ω的连续函数和周期为2π的周期函数。

2.系统的因果性与稳定性的Z变换表示

系统的因果性与稳定性可由系统函数的收敛域来表示。

（1）因果系统

因果系统的系统函数H（z）具有包括∞点的收敛域，即

Rx－＜|z|≤∞

（2）稳定系统

由2.3节中稳定系统的充要条件式（2-3-16）有

即H（z）在|z|=1的单位圆上收敛，这要求系统函数的所有极点都必须在单位圆内。

3.离散时间系统的Z变换解法

当输入序列x（n）为因果序列时，线性时不变系统的常系数差分方程描述为

在系统初始状态为零，即y（n）=0，n＜0时，对上式两边取双边Z变换，由Z变换的移位特性可得

于是

由于常系数的差分方程中的系数ak和bk是已知的，按上式可求得H（z），这也就是系统的系统函数的具体表达式。这样由Z变换的卷积定理，当x（n）给定时就可由下式求得响应y（n），这就是差分方程的零状态响应的Z变换解法。

4.系统的零极点分布与频率响应

系统函数式（2-4-26）为两个z－1的多项式之比，是一个有理分式，将其进行因式分解得

其中，ck和dk分别为H（z）的零点和极点。因此除了常数A之外，系统函数可完全由它的零极点来决定。对于一个稳定系统，其极点应全部位于单位圆内，即单位圆包括在收敛域内，因此其傅里叶变换存在，将z=eωj 代入式（2-4-28），得到系统的频率响应为

2.5 离散傅里叶变换及其快速算法

前面分别从时域和频域出发讨论了离散信号与系统的分析方法，并且说明了离散时间序列x（n）的傅里叶变换就是序列的X（eωj）频谱。在前面的讨论中，虽然信号在时间上是离散的，但是其频谱X（eωj）在频域仍然是连续的，是ω的连续函数。并且在研究序列的频谱时，对序列的长度也没有限制，但从实际计算的角度来说，只能处理有限长的数据。因此为了能用数字的方法实际计算序列的频谱，仍然需要将X（eωj）离散化，并限制序列的长度。这就是本节离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）要讨论的内容。本节还将讨论DFT的快速计算方法及其应用。这些内容在数字信号处理的理论和实际应用中都起着十分重要的作用。

2.5.1 有限长序列的离散傅里叶变换

1.DFT的定义

设序列x（n）为一长为N的因果序列{x（n）}（n=0，1，2，…，N－1），若序列的实际长度为M，且有M＜N，这时可以认为序列的最后（N－M）个样点的值为零。

为有限长序列{x（n）}（n=0，1，2，…，N－1）的离散傅里叶变换，简写为DFT。其中，

而称

为离散傅里叶反变换，简记为IDFT。

2.DFT与Z变换的关系

对于长为N的有限长序列x（n），按定义其Z变换为

将此式与式（2-4-1）相比较，有

可见，序列x（n）的N点DFT是x（n）的Z变换在单位圆上N点的等间隔采样。也就是说， DFT是在频域对序列的频谱X（eωj）在[0，2π）范围内进行了等间隔采样，采样间隔为， X（k）则为序列在离散频率点上的频谱值。

显然，对于同一序列当频率采样点数不同时，其DFT的值也不同。必须指出的是，为了保证在频域采样中不丢失信息，即能由X（k）恢复原序列x（n），频域采样点数（或DFT的变换长度）N必须大于或等于原序列的长度，这被称为频域采样定理。

2.5.2 DFT的一些性质

1.线性性

若x（n）与y（n）是同样长的序列，则对任何实数或复数a1，a2，有

2.循环移位性质

设x（n）为长度为N的有限长序列，定义

为x（n）的循环移位。这里（（n））N表示n对N取余数运算。即若n=MN+n1，0≤n1≤N－1， M为整数，则有（（n））N=n1，例如

N=8 x（（9））8=x（1），x（（5））8=x（5），x（（－4））16=x（12）

按照上式定义，循环移位的实质是将x（n）左移m位，而移出主值区0≤n≤N－1的各序列值又依次从右侧进入主值区。对序列循环移位有下述性质，若

X（k）=DFT[x（n）]

那么

3.共轭对称性

若以xr（n）和xi（n）表示x（n）的实部与虚部，即

用Xe（k）和Xo（k）分别表示实部与虚部序列的DFT，即

对式（2-5-11）和式（2-5-12）两边取共轭，显然有

分别称式（2-5-13）和式（2-5-14）为具有共轭对称性和共轭反对称性，如图2-5-1所示，按DFT的线性性，应有

故称Xe（k）和Xo（k）分别为X（k）的共轭对称和共轭反对称部分。如果x（n）=xr（n）为实序列，则X（k）=Xe（k），从而X（k）=X*（N－k）；而如果x（n）=jxi（n）为纯虚序列，则 X（k）=Xo（k），那么 X（k）=－X*（N－k）。在实际DFT的计算中，利用这种共轭对称性，这两种情况不论哪种情况都只要计算一半的X（k）就可求得另一半，从而可减少运算量和存储量。

4.循环卷积定理

设两个有限长序列x1（n）和x2（n）具有相同的长度N，称

为序列x1（n）和x2（n）的循环卷积，记为

y（n）=x1（n）⊗x2（n）

可以证明循环卷积满足交换率，即

对循环卷积有下述定理存在，若

X1（k）=DFT[x1（n）]，X2（k）=DFT[x2（n）]

则

2.5.3 DFT的快速算法——FFT

DFT是数字处理中最重要的变换之一，在信号处理的许多应用中都需要计算序列的DFT。现在考虑实际计算DFT的运算量，对于一个长为N的序列x（n），直接按式（2-5-1）计算出全部N点的X（k），其运算量为N2次复数乘法加上N（N－1）次复数加法。当N较大时其运算量是十分巨大的，因此如何快速有效地计算 DFT就显得十分重要。1965年图基（J.W.Tuky）和库利（T.W.Cooly）首次提出了DFT的快速算法（Fast Fourier Transform，简称为FFT），将运算量从N2下降到了Nlog2N的数量级，对DFT的应用和发展起了极大的推动作用，此后相继出现了许多快速算法，其作用都是如何快速计算式（2-5-1）和式（2-5-3），即离散傅里叶正变换和反变换。限于篇幅，有关这些算法的具体推导，这里不作介绍，有兴趣的读者可参阅相关的书籍，如文献[7]和[8]。顺便指出，随着电子技术和计算机硬件技术的发展，特别是新型的数字信号处理芯片（Digital Signal Processor）和专用芯片的出现，FFT的执行速度发生了很大的变化，已经完全可以满足许多实时信号处理的要求。

2.5.4 DFT与FFT在频谱分析中的应用

前面已经指出，序列的DFT就是序列的离散频谱，这里主要讨论用FFT快速计算离散信号和模拟信号频谱的方法，指出要注意的事项并着重说明频率分辨率的概念。

1.利用FFT进行频谱分析的基本方法

若信号本身是有限长的序列，计算序列的频谱就是直接对序列进行FFT运算求得X（k）， X（k）就代表了序列在[0，2π）之间的频谱值。设x（n）为长N的有限长序列，则有

X（k）=FFT[x（n）] k=0，1，2…，N－1

将X（k）表示成极坐标形式

幅度谱

相位谱

XR（k）和XI（k）分别为X（k）的实部和虚部。通常称两条谱线之间的距离为频率分辨率，即

它代表了能区分两个相邻的频率成分的能力。显然为了获得较高的分辨率，必须增长 FFT的长度N。如果x（n）为实序列，由于实序列的X（k）具有共轭对称性，则仅需要计算0～N/2点的|X（k）|与φ（k）。

若信号是模拟信号，用FFT来频谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后就可按照前面的方法用FFT来对连续信号进行频谱分析。按采样定理，采样频率fs应大于2倍信号的最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器，由此可得到用FFT对模拟信号进行频谱分析的方框图，如图2-5-2所示。

应选择抗混叠滤波器的截止频率fc使之将信号的最高频率限制在fs/2以下。fc实际上就成了信号的最高频率fh，即fh=fc≤fs/2。根据数字频率与模拟频率的关系，可以求得用

N点FFT按上述方案进行频谱分析时，其模拟频率分辨率为

因此，为了保证所指定的频率分辨率ΔF，必须要求用于FFT的点数

当采用基－2 FFT算法时，还要求N为2的整数幂。每条谱线所代表的频率刻度值为

式中，k仅取至N/2，是因为当k=N/2时，fk=fs/2，而信号的最高频率fh 必须小于或等于fs/2。若用tp代表用来进行频谱分析的模拟信号的长度，当采用N点的FFT时，则有

其中，T为采样间隔。

2.用FFT进行频谱存在的问题

（1）频谱泄漏

如果序列x（n）的长度为无限长，为了利用FFT来计算频谱，首先须将x（n）截断为有限长，截断的结果相当于乘上了一个时间窗函数，因此必将使频谱发生变化。设x（n）原来的频谱为X（eωj），若截取的窗函数为矩形窗RN（n），截取后序列为x1（n），则有

x1（n）=x（n）RN（n）

对上式两边进行傅里叶变换，按时域卷积定理，求得x1（n）的频谱为

这里

为矩形窗函数的频谱。如果用FFT来计算离散频谱

X1（k）=FFT[x1（n）]

则X1（k）只是X1（eωj）的离散谱，与X（eωj）的离散谱有差别，通常称这种差别为频谱泄漏，即计算所得的频谱线扩展到了原来信号的频带之外，产生这种现象的原因就是式（2-5-27）的卷积过程。为了减少频谱泄漏现象，可采用不同的窗函数来对序列进行截取，下面给出了一些常用的窗函数。如果已知x（n）为周期序列，在对x（n）进行频谱分析时，可以截取一个周期进行。为了避免截断效应，最好选取周期序列的过零点进行截取。

（2）栅栏效应

采用FFT来进行谱分析时仅能得到离散频率点fk处的谱线，对于其他频率点上的频谱值则不能得到，这种现象被称为栅栏效应。减少栅栏效应的方法之一是增长FFT的长度N，也就是提高频率的分辨率。由式（2-5-23）可见，当N增加时将看到更多的频率点。当采用基－2算法时，频率的分辨率每提高一倍，FFT的长度N将会成倍增加。在增加FFT长度时，如果原记录数据非零值区间不够长，可在记录后面补零延长。注意：用补加零值改变记录长度时，所用来消除频谱泄漏的窗函数的宽度不能改变，也就是说要按照原来记录长度来选择窗函数的长度，而不能按补了零值点后的长度来确定窗函数的长度，即应先加窗后补零。

3.几种常用的窗函数的时域表达式

（1）汉宁（Hanning）窗（又称升余弦窗）

（2）汉明（Hamming）窗（又称改进的升余弦窗）

（3）布莱克曼（Blackman）窗（又称二阶升余弦窗）

其窗函数中包含有余弦的二次谐波分量

（4）凯泽（Kaiser）窗

其中I0（·）是第一类修正零阶贝塞尔函数。I0（x）可用下述级数来计算

一般取I0（x）的15～25项就可满足精度要求。β是一个可选择的参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系。

4.各种类型信号傅里叶变换的比较

在2.1节给出了模拟信号的傅里叶变化，2.4节和本节又分别给出了离散信号的傅里叶变换和有限长系列的离散傅里叶变换，这里将这几种傅里叶变换总结如下，以便于读者进行比较和应用，见表2-5-1。

此外各种频率关系为：

① 模拟频率：Ω=2πf（弧度/秒）。

② 数字频率

③ 离散数字频率k为纯数字无单位，它与数字频率ω、模拟频率f之间的对应关系为

2.6 数字滤波器概述

数字滤波技术是数字信号处理中主要内容之一，滤波技术通常包括滤波器设计及滤波过程的实现两方面的内容。滤波器的设计是指当给定了滤波器的频率特性时如何求得满足该特性的传输函数，对模拟滤波器就是组成滤波器的电路元件，对数字滤波器则是传输函数的参数；滤波过程的实现则是指在获得了传输函数后，以何种方式达到对输入信号进行滤波的目的。在这一点上数字滤波与模拟滤波是不同的，模拟滤波是将信号通过由电阻、电容、电感或有源器件等模拟器件构成的模拟电路来完成的。而数字滤波从本质上讲是通过数字计算来达到目的的，它既可用专用的数字电路或数字设备来完成，也可以通过软件在计算机上实现，近年来出现的可编程高速数字信号处理器及专用芯片则为数字滤波器的实现提供了一个新的途径。数字滤波技术内容广泛，本节仅介绍滤波器的一些基本概念，重点说明在地震数据采集站中广泛应用的最小相位和线性相位数字滤波器的概念。

2.6.1 数字滤波类型与指标

1.按单位脉冲响应分类——IIR和FIR数字滤波器

数字滤波器是指具有某种特定频率特性的线性时不变系统，数字滤波器可按照它的时域特性或频域特性进行分类，从广义上讲任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器。根据滤波器的单位脉冲响应h（n）在时域中的长度可将它分为两种类型，当h（n）的长度为无限长时称为无限长脉冲响应系统，简称为IIR系统，而当h（n）的长度为有限长时称为有限长脉冲响应系统，简称为FIR系统。可以根据数字滤波器的系统函数的零极点来判断系统是IIR系统还是FIR系统。

（1）无限长单位脉冲响应（Infinite Impuse Response，IIR）系统

如果数字滤波器的系统函数可表示为

其中，ak，bk分别表示分子、分母的系数，若式（2-6-1）中分母多项式系数ak只要有一个ak≠0，则在有限Z平面上将会出现极点。若该极点不被零点所抵消，H（z）的逆Z变换h（n）就会有无穷多项，也就是说系统的单位脉冲响应将无限长，因此这样的系统就是IIR系统。

另外，由于IIR系统中至少有一个ak≠0（k=1，2，…），其差分方程表达式（设a0=1）为

可以看出其输出不但与输入有关，还与以前的输出及其加权值有关，即滤波过程中存在着输出对输入的反馈回路。这种结构常被称为递归结构，在求解差分方程时需采用迭代的方法。

（2）有限长单位脉冲响应（Finite Impuse Response，FIR）系统

若式（2-6-1）中所有ak全等于零，此时H（z）在有限Z平面上无极点，式（2-6-1）简化为

这时系统的单位脉冲响应h（n）为

h（n）=bn n=0，1，…，M

其持续时间为有限长，因此这样的系统就是FIR系统。

对于FIR系统，由于它的h（n）为有限长，若已知输入x（n），显然可通过卷积的公式直接算出输出y（n）。

另一方面，若直接由差分方程来求输出，由于所有ak=0（k=1，2，…），此时差分方程变为

其输出仅与当前及以前的输入有关，与输出无关，不存在着输出对输入的反馈，这种结构通常又被称为非递归结构。

2.按数字滤波器的频率特性分类

数字滤波器按照它的频率特性，可从幅度特性和相位特性来进行分类。数字滤波器的频率特性表达式为

是滤波器的单位脉冲响应h（n）的傅里叶变换。用极坐标表示为

分别称 H（ω），φ（ω）为幅度响应和相位响应。

（1）按幅度特性

根据滤波器的幅度响应可将滤波器分为低通、高通、带通和带阻滤波器，图2-6-1所示为理想低通、高通、带通和带阻滤波器的幅度响应。由于H（eωj）是以2π为周期的周期函数，因此所有这些频率特性都是以2π为周期重复的，通常仅考虑[0，2π]或[－π，+π]之间的特性。当滤波器的单位脉冲响应h（n）为实数时，其幅度响应是关于ω=0或ω=π对称的。

具有图2-6-1所给出的幅度特性的滤波器是一种理想滤波器，它是非因果的，是不能实现的，只能用因果滤波器来尽量逼近它。通常可根据实际要求，允许滤波器在通带和阻带内与理想特性有一定的偏差，并且在通带与阻带之间要有一过渡带。以低通滤波器为例，滤波器实际幅频特性指示如图2-6-2所示。图中：δp称为通带波纹；δs称为阻带波纹；ωp，ωs分别为通带和阻带截止频率；Δω=ωs－ωp称为过渡带。

（2）按相位特性

对于相位响应φ（ω），从信号不失真角度讲通常要求φ（ω）为线性相位，即

这里τ为时延常数。有时需要考虑信号通过滤波器后的群延时特性，定义群时延特性为

显然，如果滤波器具有线性相位，那么它的群延时就等于常数；否则群时延就是频率的函数。

2.6.2 FIR线性相位数字滤波器

1.线性相位滤波器的时域特性与相位特性

设FIR的单位脉冲响应h（n）为实数，长度为 N（0≤n≤N－1），如果h（n）满足式（2-6-11）的对称条件时，则滤波器就具有严格的线性相位特性。

或

式（2-6-11）也就是线性相位滤波器单位脉冲响应的时域特性之一，可以证明，对偶对称情况可求得它们的频率响应为

将H（eωj）表示成相位函数φ（ω）和幅度函数H（ω）的形式

那么

这个幅度函数是标量函数，可以包括正值和负值。而其相位函数φ（ω）为

φ（ω）是ω的线性函数，并且通过原点，即具有严格的线性相位特性，如图2-6-3所示。

对奇对称情况，其频率响应为

由式（2-6-16）求得幅度和相位函数分别为

这个相位特性同样是一条严格的直线，但在零频处还有－的截距，其相位特性如图2-6-4所示。它说明该相位特性不仅有个抽样周期的延时，并且对通过滤波器的所有频率分量产生即9°0的相移。这种使所有频率分量的相移皆为9°0的网络称为正交变换网络，在电子技术中的线性相位特性有着十分重要的理论和实际意义。

将式（2-6-18）和式（2-6-15）分别代入式（2-6-10），可以求群时延为

可见无论是偶对称或奇对称，其群时延均为常数，等于个抽样周期。

2.线性相位FIR滤波器的零点特性

按照式（2-6-11）的对称性可得

H（z）=±z－（N－1）H（z－1）

因此，若zi是H（z）的零点，那么，由于

H（zi）=±z－（N－1）i H（z－1i）=0

也就是说，z－1i 也是H（z）的零点。若h（n）为实数时，H（z）为实系数的多项式，则zi 应是共轭成对的， z*i 也是零点。这样对于一个实线性相位FIR滤波器，其零点为相对于单位圆镜像共轭成对，如图2-6-5所示。

2.6.3 最小相位数字滤波器

1.最小相位滤波器的定义及其零极点特性

对于一个因果稳定的数字滤波器，其系统函数的极点必须在单位圆内，但对零点则没有限制，既可在单位圆内也可在单位圆外，如上面讨论的线性相位滤波器，就有一半零点在单位圆外。实际上如果一个因果稳定系统H（z）具有单位圆外的零点，那么它的逆系统1/H（z）就一定具有单位圆外的极点，变成了不稳定系统。通常这样的系统是不可逆的。显然，为了保证系统的可逆性，不仅要求系统函数的极点在单位圆内，零点也必须全都在单位圆内。这种系统函数零极点都在单位圆内的滤波器这就是所谓的最小相位滤波器。与此相对应，当系统函数的零点都在单位圆外，称为最大相位滤波器，在单位圆内外都有零点的系统称为混合相位系统。在地震勘探中，往往认为检测的地震资料是地震子波与地层滤波器的褶积（卷积），为了求得地层滤波器的系数，需要进行反褶积，也就是求逆，因此需要用到最小相位滤波器。

比较线性相位滤波器与最小相位滤波器的零点特性可以看出，这两种滤波器是不可兼得的，也就是说，如果滤波器是线性相位的就不可能再是最小相位。顺便指出，线性相位滤波器一般都是FIR滤波器，与线性相位滤波器不同，最小相位滤波器既可以是 FIR滤波器，也可以是IIR滤波器。

下面将不加证明地说明最小相位滤波器的几个性质。

2.最小相位滤波器的性质

性质1 当频率ω由零变到2π时，最小相位滤波器相位改变量为零。

性质2 在所有其他具有相同幅度响应的滤波器中，最小相位滤波器具有最小相位滞后和最小群延时特性。该性质也是最小相位滤波器名称的由来。

性质3 最小相位滤波器具有能量延时最小的特性。

该性质说明当信号通过最小相位滤波器后，与通过其他具有相同幅度响应的滤波器相比，能量更集中在时间的前面部分，这实际上是最小相位特性在时域的反映。

以上各性质的证明可参见文献[8]。

2.6.4 梳状滤波器

梳状滤波器是一种特殊形式的FIR滤波器，由于它的频率响应类似于梳齿状因而被称为梳状滤波器，它的所有滤波器系数都是整数，求取与实现都十分方便，在Σ-ΔA/D转换器中具有广泛应用。下面对梳状滤波器的时域与频率特性进行简要介绍。

1.基本梳状滤波器的时域与频率特性

梳状滤波器是一种最简单的FIR滤波器，其单位脉冲响应h（n）全为1，即

其中，N为滤波器的节数，它的传输函数为

由此可求得其频率响应为

式中为数字频率，fs为抽样频率。式（2-6-22）表明梳状滤波器是一种线性相位低通FIR滤波器，相移常数α=（N－1）/2。为了使得滤波器的直流增益为1，可在传输函数式（2-6-21）中加入一个归一化因子（1/N）。由式（2-6-22）可见，其幅度响函数近似于SINC函数，因此也成为SINC滤波器。图2-6-6给出了N=8时梳状滤波器的幅频响应。

2.高阶梳状滤波器

由图2-6-6可见，梳状滤波器在频率点（k=1，2，…，N－1）处的幅值为零，即在ω k附近形成了多个阻带，设阻带宽度为2 Δω，则阻带最小衰减δs为

由于梳状滤波器的系数均为1（归一化因子除外），因此实现起来较为简便，但研究表明，这样得出的滤波器的阻带衰减较小，如图2-6-6所示，幅度响应中第一旁瓣峰值处的衰减仅为十几dB，不能满足实际的需要。为了提高滤波器的阻带衰减，可采用下述修正的梳状滤波器形式

相应的频率响应为

式中，K称为梳状滤波器的阶数。引入K以后，其阻带衰减成K倍增大，并且通带边缘变得更为陡峭，使滤波器的特性变得比较好。图2-6-7所示的是N=8，K=4时的梳状滤波器的频率响应图，将其与图2-6-6相比较，可以看到频率响应得到了明显的改善。当采用K阶修正时，滤波器的阻带衰减变为

式（2-6-25）的求和形式可以写为

H（z）=（1+z－1+z－2+…+z－N）KN－K

展开此多项式即可得到滤波器的系数，在这种情况下，滤波器的总长度为P=K（N－1）+1。例如，对于N=4，K=2的情况，滤波器的长度L=7，而多项式展开为

H（z）=（1+2z－1+3z－1+4z－1+3z－1+2z－1+z－1）N－K

则滤波器的系数为

h（0）=h（6）=1/16，h（1）=h（5）=2/16，h（2）=h（2）=3/16，h（3）=4/16

可见梳状滤波器的系数是比较容易求得的。

梳状滤波器由于它的线性相位特性和结构简单，易于实现，被广泛用作为Σ-ΔA/D转换器的多级抽取数字滤波器的第一级滤波器使用。在用作抽取滤波器时，其节数N等于抽取比，梳状滤波器在Σ-ΔA/D转换器中具体应用的例子见2.8节。

2.7 PCM A/D转换器

A/D转换器是模拟信号数字处理不可缺少的关键部件，直接决定了采集系统的性能。A/D转换器3个最重要的技术指标是动态范围、谐波畸变和采样率。动态范围指A/D转换器的满刻度信号与A/D转换器的背景噪声之比，当满刻度信号指定后，动态范围实际上就给出了转换器所能检测的或能分辨的最小信号的能力，下面将要说明它主要由A/D转换器的量化信噪比决定；谐波畸变则说明了A/D转换器的线性特性；采样率则规定了转换器的转换速度，实际上也就是转换器能转换的信号的最高频率或带宽。2.2节介绍 A/D转换器的结构时曾指出，任何A/D转换器都包括抽样、抽样保持、量化和编码4个基本功能，如何实现这4个功能就决定了转换器的形式与性能。

从完成抽样、量化和编码的方式来分，A/D转换器大致分为两种类型：一种为PCM A/D转换器，一种为增量调制编码型A/D转换器。PCM A/D转换器是传统形式的A/D转换器，它严格按照抽样、量化和编码的顺序进行。首先根据抽样定理对模拟信号用重复频率等于抽样频率fs的脉冲串进行幅度调制，将模拟信号变成脉冲调幅信号，然后对每个样值的幅度进行均匀量化，最后根据需要的码制用二进制码元来表示量化电平的大小。对于一个n位的A/D转换器，每个抽样值都编成n位码。由于量化为均匀量化，按照通信中的调制编码理论，上述编码过程通常称为线性脉冲编码调制（LPCM），因此这类A/D转换器被称为LPCM型A/D转换器，简称为PCM A/D转换器。现今使用的许多A/D转换器，如并行比较型、逐次比较型、积分型等都属于这种类型。另一类所谓增量调制编码型A/D转换器则与之不同，它不是直接根据抽样数据的每个样值的大小来进行量化编码的，而是根据前一样值与后一样值之差即所谓增量的大小来进行量化编码的，在某种意义上它是根据模拟信号波形的包络形状来进行量化编码的，所以有时也称为波形编码调制型。2.2节已对抽样过程进行了说明，本节将首先讨论量化与量化噪声问题，然后介绍常规的PCM A/D转换器的实现方法，在2.8节将较详细地论述在地震仪器中广泛使用的Σ-ΔA/D和D/A转换器的原理。

2.7.1 量化与量化噪声

量化是对抽样信号进行幅度上的离散化，与信号的时间离散化过程不同，量化过程是不可逆的，经量化得到的数字信号不可能不失真地恢复原信号，它必定要引入量化误差，或量化噪声。由于量化噪声的大小决定了A/D转换器的动态范围，是恒量 A/D转换器性能的一个最重要指标，作为后面深入讨论的基础，本节首先介绍常规的 PCM型 A/D转换器的量化过程及量化误差的基本理论。

量化过程就是直接把抽样信号的幅度离散化。根据量化过程中量化器的输入与输出的关系，可分为均匀量化与非均匀量化。由于大多数A/D 转换器都普遍采用均匀量化，而且对于Σ-ΔA/D转换器而言，其量化器都是低比特量化器，仅采用均匀量化，因此下面仅讨论均匀量化器的量化噪声问题。

1.量化误差

均匀量化可用图2-7-1来说明。由于量化总是对抽样信号进行的，图中）代表输入的无限精度的抽样信号）=xa（nT），x（n）代表量化器输出的数字信号，从图可见x（n）与）间的量化特性是一种均匀的阶梯关系。当量化级无限小时（即近似于没有量化））=x（n），它们的关系可用一条通过原点、斜率为1的直线来表示，输入和输出是一一对应的。同时，由于在输入端对信号采用等间隔的级差（记为Δ）来量化，对每个样点，量化器输出的码位数与级差数成比例，故又称为线性量化。

对于均匀量化，将信号幅度的动态范围（－E，+E）等分为N个量化级，每个量化级Δ为

对实际量化电路而言，例如运放比较器，这里的E实际上就是电路的满量程值（通常等于直流参考电压），即信号允许的最高电压，当信号幅值超过该值后，电路即出现过载，因此该电压有时又被称为过载点电压。

根据量化的原则，在不过载时信号幅度落在每级内均按该级的中心值量化，这样输入值与量化值之差就形成量化误差e（n），如图2-7-1所示。

从图2-7-1可见，当信号落在量化中心时，误差为零，落在量化级边界上时误差最大为±Δ/2。因此一般而言，量化误差为在（0～±Δ/2）之间变化的随机变量。

2.量化噪声的统计分析

由于量化误差是一随机变量，要想进行完全精确的分析是不可能的，但可以借助于统计分析的方法，求得量化误差的一些统计平均特性，用以作为分析与设计的依据。例如，可根据求得的量化信噪比来确定A/D转换器的动态范围或位数等。为了便于分析，对量化误差e（n）的统计特性作以下一些假定：

①e（n）是一个平稳的随机序列；

②e（n）本身的任意两个值之间不相关，并且与信号x（n）也不相关；

③e（n）具有均匀等概率分布。

按此假定量化误差就成了一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，因此也称为量化噪声，它与信号的关系是相加性的。这样，一个实际的量化器就可以看成一个理想抽样器与一个白噪声序列源e（n）之和，这种统计分析的模型如图2-7-2所示。

现在计算e（n）的两个最重要的统计参数：均值me及方差σ2e，me实际上代表了噪声的直流分量，而σ2e 则代表了除去直流分量后量化噪声的平均功率。

其中，E[·]表示取数学期望。p（e）是误差值e（n）的概率密度，由于假定e（n）是平稳的，求数学期望时与n无关，所以可不用序号值n，根据前面e（n）为均匀等概率分布的假设以及在不过载时e（n）的取值范围，其概率分布如图2-7-3所示。将此概率密度

代入式（2-7-3）和式（2-7-4），可得

由以上两式可见，对于均匀量化，未过载量化噪声的方差与量化级的平方（Δ2）成正比，与量化级数的平方（N2）成反比，如果将每个抽样值编为n位码，则量化级数N=2n，称n为量化器的

位数。将其代入式（2-7-7），得

可见，编码位数n每增加1位，量化级Δ减少1/2，量化噪声功率减少1/4，按电平值计算则降低了6dB。从式（2-7-7）和式（2-7-8）还可看出，均匀量化时量化噪声功率与信号幅度的概率密度无关。但信号|＾x（n）|＞E出现过载时，将产生过载噪声，这种过载噪声将使A/D转换器无法正常工作。因此必须要想法保持进入量化器的信号不过载，对输入信号幅度的控制可通过在量化器的前端加上调整放大器来实现。

3.均匀量化时量化器的信噪比

量化器的信噪比是指模拟输入信号功率与量化噪声功率之比，通常用 dB为单位来表示。它是表征量化器质量的重要指标之一，本节仅研究均匀未过载量化时的信噪比，用符号 SNRe表示。

前面已经指出，当均匀量化时，未过载量化噪声功率与信号幅度的概率密度无关，也就是说无论什么信号，在均匀量化时其未过载量化噪声只与量化级宽度Δ=2E/N有关。现设us为信号的有效值，则信号功率为：Ps=u2s，编码位数n与N的关系为：N=2n，则未过载的量化信噪比为

用分贝表示为

式中表示信号相对于满刻度值E的分贝数。

由式（2-7-10）可见，量化器编码位数每增加1位，信噪比可提高6dB，如前所述，这是因为编码位数每增加1位，量化级Δ值减小1/2，使量化噪声功率减小1/4，因而使信噪比提高了6dB。因此常用量化器的位数来描述量化器的性能。例如，若量化器具有12位，则说明它具有72dB的量化信噪比，反过来，若某量化器具有72dB的量化信噪比，则可认为它是一个12位的量化器。在后面讨论Σ-Δ转换器的等效有限位数时，正是从这一概念出发的。

在实际应用中，还常用“动态范围”来描述量化器的性能。动态范围的定义为：量化器满刻度均方根值（或参考电压）与量化噪声均方根值之比，单位为dB，用符号DR表示

比较式（2-7-10）和式（2-7-11）可见，量化器的动态范围等于量化器所能达到的最大信噪比，它代表了量化器所能分辨的信号电平的相对范围，并且与输入信号特性无关。

2.7.2 PCMA/D转换器的实现方法

前面已经指出PCMA/D转换器先按采样定理对模拟信号进行抽样，然后对每个样值逐个进行量化编码。PCMA/D转换器有很多形式，常用的有：逐次逼近型、Flash A/D型、Pipe-lined A/D型、Cyclic A/D型等。限于篇幅，本节以逐次比较型 A/D转换器为例来说明 PCM A/D转换器的实现方法。

逐次比较型A/D转换器的基本思想是：将输入模拟信号与不同的参考电压做多次比较，使转换所得的数字量在数值上逐次逼近输入模拟量对应值。图2-7-4为逐次逼近比较型A/D转换器的方框图，它由控制逻辑电路、时序产生器、移位寄存器、D/A 转换器及电压比较器组成。

对图2-7-4的电路，它由启动脉冲启动后，在第一个时钟脉冲作用下，控制电路使时序发生器的最高位置1，其他位置0，其输出经数据寄存器将1000……0送入D/A转换器。输入电压首先与D/A器输出电压（VREF/2）相比较，若v1≥VREF/2，比较器输出为1；若vI＜VREF/2，则为0。比较结果存于数据寄存器的Dn－1位。然后在第二个CP（时钟脉冲）作用下，移位寄存器的次高位置1，其他低位置0。若最高位已存1，则此时vo=（3/4）VREF。于是v1再与（3/4） VREF相比较，若 v1≥（3/4）VREF，则次高位 Dn－2存1，否则 Dn－2=0；若最高位为0，则vo=VREF/4，与vo比较，如v1≥VREF/4，则Dn－2位存1，否则存0……。依次类推，逐次比较得到输出数字量。由前面的叙述可见，逐次比较型A/D转换器内包含一个用于比较的D/A转换器，该D/A的精度决定了A/D的精度。

2.8 Σ-ΔA/D和Σ-ΔD/A转换器

2.8.1 Σ-ΔA/D转换器的结构

增量调制编码型A/D转换器与前面讨论的PCMA/D不同，它不是直接根据抽样数据的每个样值的大小进行量化编码的，而是根据前一样值与后一样值之差即所谓增量的大小来进行量化编码的，在某种意义上它是根据模拟信号波形的包络形状来进行量化编码的。其典型代表就是本节要重点介绍的过抽样Σ-ΔA/D转换器（以及与之对应的Σ-ΔD/A转换器）。它由两部分组成，第一部分为模拟Σ-Δ调制器，第二部分为数字抽取滤波器，如图2-8-1所示。Σ-Δ调制器以极高的抽样频率对输入模拟信号进行抽样，并对两个抽样之间的差值进行低位量化（常为1位），从而得到用低位数码表示的数字信号或Σ-Δ码，然后将这种Σ-Δ码送给第二部分的数字抽取滤波器进行抽取滤波，从而得到高分辨率的线性脉冲编码调制的数字信号，因此抽取滤波器实际上相当于一个码型变换器。由于Σ-Δ调制器具有极高的抽样频率，通常要比奈奎斯特抽样频率高许多倍，因此Σ-Δ转换器又称为过抽样A/D转换器。图2-8-2为与之相对应的过抽样Σ-ΔD/A转换器，它也由两部分组成，第一部分为数字插值滤波器，第二部分为数字Σ-Δ调制器。在后面的分析中将会看到，由于这种类型的A/D和D/A转换器就量化而言仅采用了极低位的量化器，避免了LPCM型A/D转换器中需要制造高位D/A转换器而需采用高精度电阻网络的困难，但因为它采用了Σ-Δ调制器技术和数字抽取滤波器，可以获得极高的分辨率，大大超过了LPCM型 A/D转换器。Σ-ΔA/D转换器另外的优点是由于采用低位量化，输出Σ-Δ码不会像PCMA/D那样对抽样值幅度变化敏感，而且由于码位低，抽样与量化编码可以同时完成，几乎不花时间，因此不需要抽样保持电路，这样就可使得采集系统的构成大为减化。与PCMA/D转换器相比，增量调制型A/D转换器实际上是采用以高抽样速率来换取高位量化，即以速度来换精度的方案。自20世纪90年代以来，这种 A/D和D/A转换器获得了很大的发展，并在高精度数据采集特别是在地震勘探仪器、声呐和数字音响系统、多介质、电子测量等领域内获得了广泛的应用。

2.8.2 Σ-Δ调制器的基本概念

Σ-Δ调制器是Σ-ΔA/D转换器的核心部分。Σ-Δ调制器又称为总和增量调制器，它是数字通信系统中的一种波形编码调制技术。严格地讲，在Σ-ΔA/D转换器中使用的调制器仅一阶调制器才是传统意义上的Σ-Δ调制器。这里所谓阶是指Σ-Δ调制器中所包含的积分器的个数，一个为一阶、两个为二阶等。本节先从一阶Σ-Δ调制器出发，说明Σ-Δ调制器的物理概念，然后再讨论其他形式的Σ-Δ调制器。由于Σ-Δ调制器是一种改进的增量调制器，为了说明先讨论增量调制器。

1.增量调制器

PCM A/D转换器中完全根据抽样值的幅值大小进行均匀量化，然后将量化的结果用一串二进制数码去表征。为了精确地表示一个抽样值的大小，就需要多位的量化器，位数越多，精确度越高。这种转换器一个明显的缺点是完全忽略了信号样值之间的相关性。不难想象，对于一个连续时间信号，抽样频率很高，抽样的时间间隔Δt很小，那么相邻抽样点间信号的幅度一般不会变化太大。前一抽样点信号的幅值加上（或减去）前一抽样点与后一抽样点的差值就代表了后一抽样点信号的幅值，若将前后两样值的差值进行量化编码，同样可代表连续信号所含的信息。这种将差值进行量化编码的方式，就称为“增量调制”（记为ΔM）。图2-8-3说明了这种量化编码的概念，图中x（t）代表输入的模拟信号，把时间轴按抽样间隔Δt分成相等的小段，并将纵轴分成许多相等电压间隔，每个间隔为Δ，用阶梯信号x1（t）来近似x（t）。由于x（t）为连续信号，当Δt足够小时，可将阶梯信号x1（t）两相邻阶梯之间的差值限制在Δ范围内，显然Δt和Δ越小，x1（t）与x（t）的近似程度就越高，按这样产生的x1（t）有两个特点：

① 在Δt间隔内x1（t）的幅值相等；

② 两个相邻间隔的幅值之差为Δ，此差值就是所谓的“增量”。

根据x1（t）的这两个特点，若把Δ作为量化台阶，则可用1bit码来表征x1（t），当x1（t）上升一个Δ时编码为0，下降Δ时编码为1，得到图2-8-3（d）所示的1bit编码序列。图2-8-3 （b）、（c）还分别给出了x1（t）与x（t）的误差信号e（t）及抽样脉冲序列，这就是增量调制的过程。显然，在增量调制中采用阶梯电压x1（t）来近似x（t）的前提条件是Δt非常小，也就是说要求抽样率fs非常高，有

若采用常规的奈奎斯抽样率Fs，如对于一个单频正弦信号，显然不能用这种方法来近似原来的正弦信号。这也就是为什么增量调制中抽样频率必须比奈奎斯特抽样频率大许多倍的原因。通常称这种远高于奈奎斯特抽样频率的抽样为过抽样。从前面的论述中可以看出，为了实现增量调制，关键之一就是如何获得近似阶梯信号x1（t），图2-8-4是增量调制的框图，图中的积分器就是用来产生近似信号x1（t）。由图2-8-3可见，每隔一个抽样间隔Δt，根据前一位编码输出数字来决定在原来电压基础上上升或下降一个Δ而形成x1（t），若前一编码输出为“0”，则下降一个Δ，前一编码输出为“1”，则上升一个Δ，图2-8-4中的积分器正好可完成这一过程。

设积分器是理想的，当输出“0”码时，给积分器输入一个负的单位冲激信号，则积分器输出将在原有电压的基础上下降Δ，当编码为“1”时，给积分器输入一个正单位冲激信号，积分器输出将在原来电压的基础上瞬时上升一个Δ。这样，就正好得到了近似信号波形x1（t）。由于积分器的输入为量化器输出的1位数字信号，而积分器的输出信号为x（t）的近似信号x1（t），它为模拟信号，因此积分器实际上就是一个本地译码器，或1位的D/A转换器。由以上的编码过程可见，增量调制编码就是用这种一位编码来表示x1（t）的过程，而x1（t）又近似代表了原模拟信号x（t）。虽然增量调制码为1位码，分辨率很低，但正如前面指出的那样，x1（t）或者说1位增量调制码之所以能代表x（t），是以抽样间隔Δt很小为前提的，也就是说低的量化位数是以高的过抽样为代价换来的。

虽然在Δt足够小时，阶梯信号x1（t）能很好地近似连续信号x（t），但除非Δt→0，x1（t）不可能与x（t）完全相同，这种差别就是量化编码中产生的量化误差或量化噪声。和PCM编码一样，假定增量调制的量化噪声e（t）的振幅在±Δ内均匀分布，其一维概率密度为

p（e）=1/2Δ－Δ≤e（t）≤+Δ

由式（2-7-7）可得量化噪声e（t）的平均功率为

在图2-8-4增量调制方案中，译码用积分器输出信号的上升或下降的斜率是固定的，其斜率D等于

D=（Δ/Δt）=fs Δ

D是译码器的最大跟踪斜率。若输入模拟信号斜率变化很陡，大于D时，积分器的输出就不能跟踪输入模拟信号的变化，从而会产生所谓过载量化失真。

设输入信号为正弦信号，频率为fk

x（t）=Asin2πfk t

则它的变化斜率为

dx（t）/dt=Aπfk co s2πfk t

其最大斜率为2Aπfk。若抽样频率为fs，欲使在增量调制编码中不产生过载失真，必须有

D=fs Δ≥2Aπfk

上式表明，增量调制编码器对于频率越高的信号，其产生不过载量化失真的幅度就越小。设信号最高频率为fb，其最大临界过载振幅为

式中，R=fs/2fb为增量调制的过抽样比。式（2-8-3）说明，当Δ一定时，最大临界过载振幅与信号频率成反比，与抽样率成正比，即与过抽样比成正比。为了防止过载失真，应尽量提高过抽样比。

2.改进的增量调制器——Σ-Δ调制器

式（2-8-3）说明斜率过载是影响特性的主要原因，为了克服简单增量调制这一缺点，提出了一种改进的增量调制方案，其原理性框图如图2-8-5（a）所示。它的主要思想是在简单增量调制器的前端加入一个积分器，使得输入给调制器的信号幅度随频率下降而下降。设积分器的传输函数为H（f），输入信号的频谱为X（f），则对调制器而言输入信号的频谱Xs（f）为

在理想情况下，积分器的传输函数为

这样由式（2-8-4）和式（2-8-5），输入给调制器的信号幅度As 与输入信号幅度A之间的关系为

将式（2-8-6）代入式（2-8-3），得到增加积分器后的最大不过载电压为

式（2-8-7）表明在调制器前端增加了积分器后，整个系统的过载特性与频率无关，变为了一常数。由于积分器具有累加作用，因而称图2-8-3所示的系统为总和增量调制器，或Σ-Δ调制器，称调制器的输出y（n）为Σ-Δ码。由图2-8-5可以求得y（n）与模拟输入信号之间的关系为

故有

上式表明，除了e（t）的微分de（t）/dt项外，y（n）的确代表了原始模拟信号，de（t）/dt实际上代表了量化噪声。由于微分信号一般表现为高频信号，因此将y1（n）经低通滤波后即可恢复原来的 x（t）。从式（2-8-8）还可以看出，图2-8-5（a）中的两个积分器实际上可合并成一个，由此得到图2-8-5（b）所示的简化电路。目前大部分Σ-Δ调制器均采用该电路。值得指出的是，由于y（n）表现为“0－1”编码的数字脉冲，而x（t）为模拟信号，为了将这两个信号进行比较，在图2-8-5（b）的等效电路中，插入了一个1位D/A转换器（用虚线标出），用来将数字脉冲转换为模拟信号。在实际的电路中，由于积分器大都采用开关电容网络构成，模拟信号在进入积分器之前已成为了抽样信号，因而不再需要D/A转换器将数字脉冲转换为模拟信号。因此，在后面的讨论中对图2-8-5（b）用抽样信号等效电路分析时，将1位D/A转换器略去，直接用直线连接。

2.8.3 一阶Σ-Δ调制器的传输特性及量化信噪比

为了分析图2-8-5（b）给出的一阶Σ-Δ调制器的传输特性，先将该图代表的模拟电路用它的等效数字模型来表示。积分器的数字模型为具有一个延迟单元的反馈回路，同时由于量化器为非线性元件，引入了量化噪声，并且它嵌入在反馈回路中，因此严格定量分析是十分困难的。类似2.7节有关幅度量化器的分析，将量化器线性化为一个量化误差为白噪声的信号源e（n），并且假设量化噪声与输入信号不相关。由于Σ-Δ调制器的量化分层很少，这种假定有时并不一定成立，特别是对于一阶Σ-Δ调制器和当输入为直流或正弦信号等规则信号的情况，量化噪声与输入信号表现了很大的相关性，但对于高阶Σ-Δ调制器以及随机的输入信号，仍然可得到具有指导意义的结果。进一步将量化器与积分器的增益合并为回路增益K，并略去D/A转换器，同时考虑到反馈信号x1（t）与输入信号x（t）在时间上要相差一个抽样间隔，从而得到图2-8-5（b）的抽样信号等效电路及其信号流图，如图2-8-6所示。由图2-8-6可求得

其中

分别为一阶Σ-Δ调制器对信号和量化噪声的传递函数。若回路增益K=1，则有

Hx（z）=1

和

He（z）=1－z－1

以上两式表明，在回路增益K=1时，一阶Σ-Δ调制器对信号的传输函数为1，即将信号全部无失真地传给了输出端，而对量化噪声的传输函数为（1－z－1），它将量化噪声产生了变形，即产生了所谓量化噪声成型，其效果是将噪声推到了高频段，而使有用通频带[0，fb]内噪声大大减少，图2-8-7给出了量化噪声成型的示意图。

为了确定一阶Σ-Δ调制器的量化信噪比，首先必须求得输出量化噪声功率。根据白噪声通过线性系统的原理，可以求得一阶Σ-Δ调制器在通频带[0，fb]内输出量化噪声为

上式的详细证明见文献[9]。

当输入信号为在（－E～+E）均匀分布的随机信号时，其均方值为

由式（2-8-13）和式（2-8-14）可求得一位量化时，一阶Σ-Δ调制器的量化信噪比SNR1为

式中

就是前面已经定义过的过抽样比。式（2-8-15）用dB表示

在2.7节中曾指出，对于直接的均匀PCM量化编码器，当输入信号为均匀分布的随机信号时，量化信噪比为6dB/位（见式（2-7-12）），在1位量化时信噪比仅为6dB，可见采用Σ-Δ调制器后，信噪比的改善为

D1=30lgR－5（dB）

式（2-8-17）表明，对于一阶Σ-Δ调制器，虽然仅采用1位量化，但在过抽样比R足够大时，在理论上也可获得相当好的量化信噪比。例如，R=256，由式（2-8-17）可求得SNR1（dB）≈84dB，这相当于14位线性PCM A/D转换器的分辨率。

2.8.4 高阶Σ-Δ调制器

前面讨论了一阶Σ-Δ调制器的基本原理，从式（2-8-17）可知，要想获得较高的量化信噪比，须采用很高的过抽样比，这将使抽样频率变得很高，难于实现。为了进一步改进Σ-Δ调制器的性能，可在量化器之前插入多个积分器构成高阶Σ-Δ调制器。下面先讨论二阶Σ-Δ调制器，然后推广到更高阶的情况。

1.二阶Σ-Δ调制器

图2-8-8（a）为二阶Σ-Δ调制器的一种结构模型，它在量化器前设置有两个积分器，由于Σ-Δ调制器大都由开关电容网络组成，可采用其等效离散数字模型图2-8-8（b）来表示，此时积分器1和积分器2的传输函数分别为

仍将量化器等效为一个相加性的白噪声信号源e（n），并将图2-8-8（b）中虚线框内的1位D/A转换器用直线代替，若仍然假定量化器为1位量化器，可以证明[9]当输入信号为均匀分布的随机信号时，二阶Σ-Δ调制器的量化信噪比SNR2（dB）为

上式表明当过抽样比R每提高一倍，信噪比可提高15dB，也就是说抽样率每增加一倍，相当于采用线性PCM量化编码时提高了2.5位的分辨率。

2.高阶Σ-Δ调制器

由前面的分析可知，过抽样比R每提高一倍，量化信噪比对一阶调制器可提高9dB，对二阶调制器为15dB，为了进一步提高Σ-Δ调制器的量化信噪比，可在量化器之前插入更多的积分器，构成高阶Σ-Δ调制器，一个L阶调制器离散模型的框图如图2-8-9所示。

图2-8-9中，H1 和H2 分别为式（2-8-18a）和式（2-8-18b）所代表的积分器，共有L－1个H1 积分器，一个H2 积分器，仍然将量化器线性化为一相加性白噪声，同样可以证明L阶Σ-Δ调制器如果仍然采用1位量化，对输入的均匀分布的随机信号，可以求得量化信噪比为

式（2-8-20）表明，理论上抽样频率每提高一倍，基带内的噪声功率将下降3（2L+1）dB，量化信噪比增加了3（2L+1）dB，相当于PCM调制编码情况增加了（L+0.5）位的分辨率。

2.8.5 数字抽取滤波器

在2.8.1节指出，Σ-ΔA/D 转换器由两部分组成，第一部分为模拟Σ-Δ调制器，第二部分为数字抽取滤波器，如图2-8-1所示。Σ-Δ调制器用于产生过抽样的Σ-Δ码，数字抽取滤波器则对Σ-Δ码进行二次抽取和滤波运算，将这种抽样频率极高的Σ-Δ码转换成常规的多位PCM码。抽取实际上就是对数字序列进行重抽样或二次抽取，它通过等间隔地丢掉一些样点从而降低采样率。这种对采样率进行转换的过程，属于多抽样率信号处理的范畴。在Σ-ΔA/D 转换器中，数字抽取滤波器具有以下3个作用：

① 滤除二次抽样频率以上的频率分量，以防止由于数字抽取而产生的混叠失真；

② 进行抽取和滤波运算，将采样率降低到奈奎斯特抽样频率，并提高数字信号的位数，将低位的Σ-Δ码转换成多位的PCM码；

③ 低通滤波将经过噪声成型后的Σ-Δ调制器输出噪声减至最小，从而完成Σ-ΔA/D转换，提高转换器的有效分辨率和动态范围。

下面从序列重抽样前后的频谱来说明抽取滤波器完成这3个功能的原理。

1.序列的抽取

序列的抽取指将原来的序列x（n）每隔M个样点保留一个样点，去掉其间的M－1个样点而形成的新序列，即按M∶1对原序列的数据进行压缩，抽取的分解过程如图2-8-10所示。

图2-8-10（a）中x（n）为原来的序列，图2-8-10（b）为将x（n）每隔M点抽取一点、其他点的值取零的序列xp（n），注意xp（n）的抽样率没有发生变化。图2-8-10（c）为将xp（n）去掉零值点后构成的新序列y（n），图2-8-10（d）为表示抽取的示意图，其中M为抽取的比率。由图可见，x（n）与y（n）之间的关系为

由以上的过程可知，若x（n）原来是以抽样率T对模拟信号xa（n）进行的抽样，那么重抽样后形成的序列y（n）的抽样率就是MT，采样率降低了M倍。

2.序列抽取前进行滤波的必要性

设x（n）为模拟信号x（t）按奈奎斯特采样率fs抽样后获得的数字信号，抽样间隔为T=1/fs，现在需要将抽样率降低M倍，即进行M∶1的整数倍抽取，然后形成新的数字信号y（m），y（m）的抽样频率fs1和抽样间隔T1分别为

按抽样定理，在一次抽样时为了保证不产生混叠失真，x（t）必须是一个最高频率为fs/2的带限信号，记X（eωj ）为x（n）的数字频谱，则有

这里ω=2πf/fs为相对于抽样频率fs 的数字频率。现在讨论抽样率减少M倍后y（m）的频谱。为了说明取M=4，由于y（m）的抽样率fs1=fs/4，显然，为了防止混叠失真，必须将信号的频谱限制在－fs/8≤f≤fs/8之间，相对于原抽样频率的数字频率应为

因此为了直接由x（n）获得y（m），首先必须用数字低通滤波器将高于π/4以上的频率分量滤去，滤波器的特性为

然后再将滤波器的输出每隔M点取一点，达到抽样率降低的目的从而形成y（m），这个过程的框图如图2-8-11所示。

显然y（m）的频谱相对于抽样频率fs而言，数字频谱限制在（－π/4 ≤ω≤π/4）

│Y（eωj）│≠0 │ω│≤π/4

相对于新抽样频率fs1而言，则数字频谱限制在（－π≤ω′≤π）

│Y（eωj′）│≠0 │ω′│≤π

这里ω′=2πfT1=2πf/fs1为相对于抽样频fs1的数字频率。由以上的分析可见，抽取滤波器的一个重要作用就是抗混叠失真。

3.抽取滤波的实现方法

（1）抽取滤波器的类型与结构

几乎所有类型的数字滤波器都可作为Σ-ΔA/D转换器中的抽取滤波器，例如 FIR 和 IIR数字滤波器。对大多数应用，为了保证输出信号的相位不产生失真，往往采用线性相位的 FIR滤波器。但在一些特殊的应用中，例如在地震信号的采集中，为了保证相位的最小相位特性，也使用最小相位滤波器。此外，为了保证滤波的效率，还常采用一些特殊类型的滤波器，例如，在抽取滤波器的多级抽取实现中，第一级大多采用前面介绍过的梳状滤波器。同时为了有效地完成滤波计算，在滤波器实现的结构上也有许多方法。有关滤波器的设计问题及具体的实现结构超出了本书的范围，可参见文献[8]，[9]等。下面仅对多级抽取予以简单说明。

（2）多级抽取

为了尽可能好地滤除基带外的噪声，要求抽取滤波器尽可能接近理想滤波器，因此对滤波器的指标提出了很高的要求。作为高性能的Σ-ΔA/D转换器，除要求滤波器的通带和阻带波纹很小外，还要求滤波器具有很小的过渡带。例如，在现代地震仪器中常用的Σ-ΔA/D转换器的抽取滤波器的通带边频通常取为0.4倍采样频率或0.8奈奎斯特频率，阻带变频则取小于奈奎斯特频率的某个频率，这通常将导致滤波器的节数很大。从实现抽取滤波的角度来说，最重要的两个指标一个是运算量，一个是占用的存储量（这里主要指用于存储滤波器系数的存储量）。无论是Σ-ΔA/D还是Σ-ΔD/A转换器都是实时器件，如何在抽取过程中尽量减少运算量和存储量显得尤为重要。设输入信号x（n）的抽样率为fs，输出信号y（n）的抽样率为Fs=fs/M，抽取因子为M，那么抽取滤波运算为

显然运算量与占用存储量都与滤波器的节数（或长度）成正比。在Σ-ΔA/D转换器中，过抽样比（即抽取因子）很大，相对于过抽样频率，滤波器的通带与过渡带都很窄，这将使滤波器的节数很大，因而运算效率很低。因此，在过抽样Σ-ΔA/D转换器中，为了有效地实现抽样率转换，常采用多级抽取的方法。

多级抽取的概念可用图2-8-12来进行说明，原始的单级抽取的方案如图2-8-12（a）所示，现在将抽取因子M分解成I个小的抽取因子Mi的乘积

并在每个抽取因子 Mi 之前插入一个低通滤波器，使之构成一个独立的抽取器，如图2-8-12（b）所示。每级的输出频率为Fi=Fi－1/Mi，整个系统由这I个独立的抽取器级联组成，最后的输出频率为Fs=fs/M。

由于将滤波器分解成了多级，使每级滤波器的相对过渡带大大增加，相应每级滤波器的节数大为减少，因而可大大减少滤波的运算量与滤波器系数的存储量。文献[9]给出了一个说明多级抽取优点的例子。

4.Σ-ΔA/D 转换器的动态范围与采样率、字长的关系

前面从抽样信号的频谱说明了抽取滤波器的抗混叠失真与降低采样率的作用，下面通过抽取滤波器对Σ-Δ调制器输出的Σ-Δ码的滤波运算，进一步说明Σ-ΔA/D转换器的动态范围与采样率、分辨率与字长的关系。图2-8-13给出了Σ-ΔA/D转换器中代码转换过程，首先，由Σ-Δ调制器将模拟信号按过抽样频率fs转换成1位的Σ-Δ代码x（n），然后由抽取低通滤波器h（n）进行抗混叠滤波，滤去高于二次抽样奈奎斯特频率fs1/2的分量，并在滤波计算过程中将1位的Σ-Δ代码x（n）转换为多位的序列w（n），最后由抽取器进行抽取，得到所需要抽样率的信号序列y（n）。

（1）Σ-ΔA/D转换器的动态范围与采样率的关系

A/D转换器的动态范围定义为满刻度信号的均方值与输入信号为零时背景噪声的均方值之比。背景噪声主要由电子器件固有噪声和量化噪声组成，其中量化噪声起主要作用。由2.8.3节可知，Σ-Δ调制器并不能减少量化噪声而是将量化噪声成型，将噪声推向高频端从而减少低频段的噪声。式（2-8-20）指出，如果调制器的量化器采用1位量化，过抽样比R=fs/2fb每提高一倍，基带内的噪声功率将下降3（2L+1）dB，量化信噪比增加3（2L+1）dB。由于实际上这里的fb就是所要求的输出采样率，这表明对于一个特定的Σ-Δ调制器而言，当其对模拟信号的过采样率选定后，其动态范围是随输出采样率而变化的，输出的采样率越高则动态范围就越小。过抽样比R与抽取比M是对应的，因此当Σ-Δ调制器给定后，通过改变抽取比M就可获得不同的采样率。而抽取低通滤波器就负责将通带外的噪声滤掉，从而保证A/D转换器的动态范围。

（2）动态范围与字长的关系

前面已经指出，在传统的LPCM A/D转换器中，动态范围就是用A/D转换器的量化位数来表示的，每位6dB，例如，当给定一个12位的A/D时，它的动态范围就是72dB，但对于Σ-ΔA/D转换器这个概念并不适用。由图2-8-13可见，当调制器输出的1位Σ-Δ代码经过滤波器h（n）滤波计算后就变成了多位信号，信号的字长与Σ-ΔA/D转换器的动态范围没有必然的联系，完全由滤波器的字长决定，字长只是用来表示每个样点的位数，并不代表具有每位6dB的动态范围。这也就是为什么在地震仪器中常用的24位Σ-Δ A/D转换器实际动态范围多在120dB以下而不是144dB的原因。

2.8.6 Σ-ΔD/A转换器

1.Σ-ΔD/A 转换器

在电子测量、高精度数据采集、高保真数字音响与通信系统中经常需要输出高精度、大动态范围的模拟信号，或者作为仪器设备高性能的内置测试信号源，这就需要具有高精度、大动态范围的D/A转换器。例如，音响系统输出音频信号的动态范围在110dB以上，或者像地震数据采集站的内置测试信号源的谐波畸变在120dB以上，那么就要求D/A转换器的位数至少在20位以上。若采用传统的D/A转换器，由于高位的D/A转换器需采用高度精密的电阻网络，实现十分困难，生产成高本，故而限制了D/A转换器性能的提高。Σ-ΔD/A转换器的出现解决了这一难题，它避免了高精度电阻网络的使用，只需要一位 D/A转换器就可获得高精度D/A转换器。图2-8-2给出了Σ-ΔD/A转换器的结构，它由插值滤波器和数字Σ-Δ调制器两部分组成。

数字Σ-Δ调制技术是Σ-ΔD/A转换器的核心技术，它将传统的过采样的多位幅度量化编码的数字信号进行二次量化，将其转换成一位的Σ-Δ码，然后只需要采用一位的D/A转换器就将数字信号转换成了模拟信号。数字Σ-Δ调制技术与模拟Σ-Δ调制技术原理相同，这里不再赘述。不同的是，模拟Σ-Δ调制器需要先将模拟信号进行采样使之变成抽样信号后进行处理，而数字Σ-Δ调制器输入的信号本身就是数字信号，不需要抽样，因此数字Σ-Δ调制器相对模拟Σ-Δ调制器的制作要容易些。同样由于过采样Σ-Δ调制技术固有的噪声成型特性，将噪声推向高频段，从而保证在低频段具有很高的信噪比。图2-8-14是用计算机仿真的一个5阶的数字Σ-Δ调制器，求得的输出1位Σ-Δ码y（n）的频谱图。具体仿真参数为：过抽样比R=，fb为边带频率，输入正弦信号相对边带频率之比，相当于抽样频率fs 对信号频率f1之比为。

由图2-8-14可见，在低频段，虽然码流是1位的，只需采用1位的D/A，仍然可达到120dB以上的动态范围。

由图2-8-14还可见，得到这样结果的抽样频率fs相对信号频率f1的实际抽样率达到了1024倍的过抽样。也就是说，为了得到高的信噪比，在按常规奈奎斯特采样频率取得的数字信号进入数字Σ-Δ调制器之前，必须要先进行插值，使得过抽样率能达到要求。这一过程是由数字插值滤波器完成的。

2.数字插值滤波器

（1）序列的插值

把一次抽样信号x（n）的抽样频率增加L倍意味着必须在x（n）的每两个样值之间插入L－1个新的抽样值，从而变成一个具有更多样点的新序列。因此，与序列抽取正好相反，抽样率增加的过程实际上就是对序列进行插值的过程。

图2-8-15说明了插值的分解过程。其中，图2-8-15（a）为原来的序列x（n）；图2-8-15（b）为在原来的序列x（n）的两点之间插入L－1个零而形成的过渡序列w（n）；图2-8-15（c）为将w（n）通过某种方式（通常是数字滤波）将插入的零值变为有效值，从而形成插值后的新序列y（n）；图2-8-15（d）为序列的插值示意图，其中L表示序列增加的倍数。

由图2-8-15可知，x（n）与w（n）之间的关系为

同样有

（2）序列插值后的频谱

为了说明序列插值前后频谱之间的关系，仍然从模拟信号出发。设x（n）是从模拟信号xa（t）按抽样率fs得到的序列，现在要求得到一个新序列y（n），它是以抽样率fs1=Lfs 从模拟信号xa（t）抽样所得到的序列。为了便于说明，取L=3。图2-8-16（a）画出了序列x（n）的数字频谱，数字最高频率π对应于模拟频率fs/2，并以fs 为周期重复。当取L=3，即以3fs的抽样频率对原始的模拟信号进行抽样时，数字最高频率π对应于模拟频率fs1/2=1.5fs，并以3fs（对应的数字频率为2π）为周期重复。也就是说，原来序列x（n）在[0，π]范围的频谱在序列y（n）中由于采样率变成了3fs，而被压缩到了[0，π/L]的范围，y（n）的数字频谱如图2-8-3（c）所示。图中

显然当ω1在0～2π变化时，ω将在0～2πL范围变化，即对原频谱进行了L倍压缩。因此，式（2-8-28）表明，w（n）的谱以2π/L的整数倍为中心，对压缩后的x（n）的谱周期重复，重复周期为2π/L，如图2-8-16（b）所示。为了获得所需要的y（n）的频谱图2-8-16（c），必须对w（n）

利用截止频率在π/L的理想低通滤波器进行滤波，以消去那些重复的频谱分量。

如果h（n）代表滤波器的单位脉冲响应，则由卷积运算可求得y（m）为

通过卷积运算，将w（n）插入的零值就变成了y（n）的有效值。

总结以上的过程可得以下结论：插值滤波器有两个作用，其一是消除因插值产生的多余频谱，其二是进行滤波运算，将插入的零值变成y（n）的有效值。图2-8-17给出了插值滤波器的框图。

有关插值滤波器的设计与实现更多更详细的内容请参阅有关书籍，例如文献[9]。

必须指出的是，由图2-8-14可见，过抽样Σ-ΔD/A转换器虽然能保证在带内具有很高的信噪比，但在整个高频带内，其噪声是很大的，因此在具体用它构成模拟信号时，其后必须要接一个模拟低通滤波器，将其高频段的噪声滤去，以保证取得高精度的模拟信号。