∗1.6 光波在金属表面的透射和反射

上面讨论了光波在两种介质分界面上的反射和折射，我们假定所讨论的介质是不导电的透明介质，其电导率σ=0。本节讨论光波在介质-金属界面上的反射和折射。与不导电的（绝缘）介质相比，金属最显著的特点是，一般地，它为良导体。所谓良导体，就是金属的电导率σ很大，并且满足，这里ε是介电常数，ω是作用在金属上的外界电磁场的角频率（条件表明，金属是否为良导体，不仅与它的σ大小有关，还与外场的频率ω有关）。一般金属导体σ/ε的数量级为1017 s-1，所以只要电磁场的频率ω≪1017 Hz，一般金属导体可看做良导体。

金属有很好的导电性能这一特点，与金属中存在数目很大的自由电子有关。可以证明，在不是特别高频率（ω≪1017 Hz）的电磁场作用下，金属内部的自由电子只分布于金属表面上，金属内部电荷体密度ρ=0，并且自由电子在表面层形成表层电流（j=σE）。这一电流的存在将使入射波产生强烈的反射，并使透入金属内的波迅速地耗散为电流的焦耳热。所以，通常光波只能透入金属表面很薄的一层内，金属是不透明的。下面我们先来研究透入金属内的波，看它具有怎样的性质。

1.6.1 金属中的透射波

由于在金属内部，ρ=0，j=σE，从麦克斯韦方程组可得金属中电磁场的波动方程

对于 E=Aexp[i（k·r-ωt）]

这一形式的平面波解，由式（1.6⁃1）得到

表明在金属中传播的平面波的波矢量k为复数。把它写成

这样，金属中的平面波为

它是一个衰减的波，随着波透入金属内距离的增大，波的振幅按指数衰减。这是由于光波场在金属表面引起表层电流，从而光能量不断耗散为电流的焦耳热所致。透射波振幅的衰减由波矢量k的虚部α描述，而波传播的位相关系由波矢量k的实部β描述。

由式（1.6⁃2）和式（1.6⁃3），可以得到α和β应满足的关系：

-（β2 +2iα·β-α2）+iωμσ+ω2 εμ=0

分别写出实部和虚部的等式，得到

和

为简单起见，考察平面波沿垂直于金属表面的方向传播的情形，这一情形与光波垂直入射时的透射相对应。设金属表面为xy平面，z轴指向金属内部。这时，α和β都沿z轴方向，式（1.6⁃4）变为

由式（1.6⁃5）和式（1.6⁃6）可解出α和β，结果是

对于金属良导体，可以得到

波的振幅衰减到表面处振幅1/e的传播距离称为穿透深度。由式（1.6-7）和式（1.6-8），穿透深度为

对于铜来说，μ=μ0 =4π × 10 -7 N·s2/C2，σ≈5.9 × 107/（Ω·m），如果光波的频率ν=5 × 1014 Hz（黄光），算得z0 =3 × 10 -6 mm=3 nm，可见，入射波只能透入金属表面很薄的一层内。所以，在通常情况下金属是不透明的，只有把它制成很薄的薄膜时（如镀银的半透膜）才可以变成半透明的。

1.6.2 金属表面的反射

前面已经说明，波在金属内传播时其波矢量k为复数。可以证明，只要用一个复介电常数来代替实介电常数，相应地用一个复折射率来代替实折射率，形式上就可以把前面所述的绝缘介质表面的折射和反射公式搬到金属表面的折射和反射中来。引入

假设金属中传播的波是频率为ω的单色波，即E=Aexp[i（k·r-ωt）]，则平面波在金属界面的反射和折射在形式上与绝缘介质的情形一致。因此，对于光波垂直入射空气-金属界面情形，反射率应为

其中，，是金属的复折射率，令

式中，n和κ是正实数，κ称为衰减指数①。式（1.6⁃11）因而可以表示为

金属的折射率 为复数，其虚部同样是表征金属内传播的波的衰减。

一些金属对于钠黄光（λ=589.3 nm）的光学常数如表1.2所示。

对于光波斜入射的情形，反射率同样可以利用介质的反射系数式（1.4-13）和式（1.4-17）计算，即

只是在金属情况下

由于是复数，因此θ2也是复数，θ2不再具有通常所理解的折射角的意义。把上式代入式（1.4⁃13）和式（1.4⁃17），得到s波和p波的反射率近似为

和

图1.26所示是银和铜两种金属的反射率随入射角θ1 变化的曲线（入射光波长为450 nm），它与电介质的反射率曲线（图1.19）相比较，有两点类似：①在θ1 =90°时都趋于1；②Rp有一个极小值（对应于入射角， 称主入射角），但是金属的Rp的极小值不等于零。

另外，根据式（1.4-13）和式（1.4-17），因为θ2 是复数，所以rs 和rp 也都是复数，这表示反射光相对于入射光，s波和p波都发生了位相跃变。随着入射角的不同，位相跃变的绝对值介于0与π之间，并且一般地s波和p波的位相跃变不同，因此若入射光为线偏振光，在金属表面反射后一般将变为椭圆偏振光。

还有一点值得注意：对于同一种金属来说，入射光波长不同，反射率也不同。图1.27所示为在垂直入射时几种金属的反射率随波长的变化关系。金属反射的这一性质，是由于金属的复介电常数和复折射率与频率有关所致的，从式（1.6-10）看就是电导率σ和实介电常数依赖于频率引起的。已经指出，电导率σ来源于自由电子的贡献，而实介电常数则是束缚电子的贡献。对于频率较低的光波，它主要对金属中的自由电子发生作用，因而自由电子的贡献比束缚电子的贡献要大得多，这样将导致金属对低频光波有较高的反射率。对于频率比较高的光波（紫光和紫外光），它也可以对金属中的束缚电子发生作用，这种作用将使金属的反射能力降低，透射能力增大，呈现出非金属的光学性质。例如，银对于红光和红外光的反射率在0.9以上，并伴有强烈吸收；而在紫外区，反射率很低，在λ=316 nm附近，反射率降到0.04，相当于玻璃（电介质）的反射，这时透射能力明显增大。铝的反射本领随波长的变化比较平稳，对于紫外光仍有相当高的反射率，这一特性和它的很好的抗腐蚀性，使它常作为反射镜的涂料。